MATEMATIKA DASAR : BAB 1

HIMPUNAN  DAN  OPERASINYA

Himpunan adalah kumpulan sesuatu yang didefinisikan dengan jelas dan anggota-anggotanya dapat dibedakan satu sama lain.

Contoh :

  1. Himpunan bilangan bulat antara 1 dan 5.

A = {2,3,4} = {x | x = bilangan bulat, 1 < x < 5}

2.   Himpunan hewan piaraan.

B = {kucing, anjing,…}

= {x | x = hewan piaraan}

  1. Himpunan mahasiswa rajin belajar.

C = {Amir, Tuti, Hasan,…}

= {x | x = mahasiswa rajin belajar}

  1. Himpunan titik-titik pada fungsi y = x-1 dengan x = bilangan bulat positif.

D = {(1,0),(2,1),(3,2),…}

= {(x,y) | y = x – 1, x = bil bulat positif}

Notasi :

  1.  = elemen/anggota.

aB = a elemen/anggota B

aC = a bukan elemen/anggota C.

2.    Ø atau { } = Himpunan kosong

= Himpunan yang tidak mempunyai anggota.

3.  S = Himpunan semesta (pembicaraan)

= Himpunan yang memuat seluruh objek yang dibicarakan

4.    atau   atau    = Himpunan bagian

AB atau BA

AB  dibaca  “A himpunan bagian dari B”

B A dibaca  “B memuat A”

Contoh : A = {1,2} ; B = {0,1,2,3}

5.   = Union/gabungan.

CD = C union D

Contoh :          C = {a,b} ; D = {b,c,d}

CD  = {a,b}{b,c,d}

= {a,b,c,d}

6.   = Interseksi/irisan

dengan contoh di atas

CD = {b}

DIAGRAM VENN

A.                                                                               A B           A  B

                                     

A atau A                                                                       A – B = A  B

= {x | x A}                                                                        = {x | x A dan xB}

misal:  S = {1,2,3,4,5}                                                   misal:  A = {a,b,c,d,e}

A = {3,5}                                                                       B = {c,d,e,f,g}

A = {1,2,4}                                                                      A – B = {a,b}

AA = S                                                                        B – A = {f,g}

B – A = B  A
RUMUS-RUMUS  HIMPUNAN

  1. (A) = A
  2.  Ø  = S                           S = Ø
  3. A – B = A  B              A + B = (A  B) – (A B)
  4. A  Ø  = A                     AØ = Ø
  5. A  S = S                      AS = A
  6. A  A =A                       AA =A
  7. A  A = S                    AA = Ø
  1. Asosiatif :

(AB) C = A (BC)

(AB) C = A (B C)

9.   Komutatif

AB = BA

AB = B A

10.  Distributif :

A  (B  C) = (A  B)  (AC)

A  (B  C) = (A  B)  (A  C)

11.  Demorgan

(A  B)   = A   B

(A  B)   = A   B

A – (BC) = (A – B)  (A – C)        ( Buktikan ! )

A – (BC) = (A – B)  (A – C)        ( Buktikan ! )

12. Banyak anggota himpunan (n)

a). n(AB) = n(A) + n(B) – n(AB)

b). n(ABC) = n(A) + n(B) + n(C) – n(AB) – n(AC) – n(BC) + n(ABC)

( Buktikan dengan menggunakan rumus a) ! )

INGAT  ( MODUL 01 ) SISTEM BILANGAN :

 

  1. Bilangan Asli                  =       1,2,3,4,5,6,…
  2. Bilangan Cacah             =       0,1,2,3,4,5,…
  3. Bilangan Prima              =       2,3,5,7,11,13,…
  4. Bilangan Komposit         =       4,6,8,9,10,12,…

(hasil perkalian mulai 4)

  1. Bilangan Irasional           = bilangan akar murni  (,,,, ,…), π, ..
  2. Himpunan Lepas (saling asing) A & B, maka AB = Ø

7.   Himpunan ekivalen C dan D, maka elemen-elemen yang seletak, ekivalen.

8.   Himpunan Kuasa (2).

Adalah himpunan yang elemennya berupa himpunan-himpunan bagian dari S.

Contoh : S = { a, b }

Maka  2 = { Ø, {a}, {b}, {a,b} }

Jumlah anggota himpunan tersebut  =  2n(S) = 2² =  4

Contoh :

Penerapan pada himpunan :

  1. Bila A = Himpunan bilangan asli, B = Himpunan bilangan cacah, maka   A    B
  2. Bila A = Himpunan bilangan asli, C = Himpunan bilangan prima, maka   C    A
  3. Bila A = Himpunan bilangan asli, D = Himpunan bilangan bulat, maka   A    D

4. S = {x | x = bilangan asli},        A = {x | x bilangan prima}

maka A = {x | x = bilangan komposit atau x = 1}

5. A = {x | x = bilangan cacah}

B = {x | x = bilangan komposit}

maka A – B = {x | x  {0,1}atau x = bilangan prima}

6. A = (x | x = bilangan riil}

B = {x | x = bilangan bulat}

maka A – B = {x | x = bilangan irasional atau x = Bilangan pecah}

 

SOAL-SOAL DAN PENYELESAIAN

 

  1. Diketahui : S = {x | x bilangan riil}

A = {x | -1 < x ≤ 0}

B = {x |  0 < x ≤1}

Ditanyakan : Cari AB, AB, A  B !

Jawab :

      Maka A B = {x | -1 < x ≤1}

A B = { }

A  BC = ( A B)  = {x | x ≤ -1 atau x > 1}

2.   Buktikan :  a). A – (BC) = (A – B)  (A – C)

b). A – (B  C) = (A – B)  (A – C)

Bukti ;

a). A – (B  C)          = A  (B  C)C

= A  (B  C)

= (A B) (A C)

= (A – B)  (A – C)

b). A – (B C) = A (B C)

= A  (B C)

= (A B) (A C)

= (A – B)  (A – C)

3.   Diketahui : S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}; A = {1,2,3,4}

B = {2,4,6,8} ; C = {3,4,5,6}

Ditanyakan ;

a). A B, A C, B C

b). A B, A C, B C

c). A, B, C

d). A – B, B – A, C – A, B – C

e). (A B) – C

Jawab :

a). A B = {2,4}

AC = {3,4}

B C = {4,6}

b). A B = {1,2,3,4,6,8}

A C = {1,2,3,4,5,6}

B C = {2,3,4,5,6,8}

c). A = {5,6,7,8,9}

B = {1,3,5,7,9}

C = {1,2,7,8,9}

d). A – B = {1,3}   ;    B – A = {6,8} ;      C – A = {5,6}  ;    B – C = {2,8}

e). (A B) – C = {2,4} – {3,4,5,6}

= {2}

4.   Jika himpunan K = {x | x positif dan x² + 5x + 6 = 0}

Maka banyaknya himpunan bagian dari A adalah ?

Jawab :

x² + 5x + 6 = 0

(x + 3 (x + 2) = 0   à (x1 = -3) & (x2 = -2)

à K = { } = Ø  n(K) = 0

Jadi banyaknya himpunan bagian dari K = 2º = 1

5.    P & Q adalah dua himpunan yang tidak kosong.   n(P – Q) = x2;     n(Q – P) = 12 – x,

n(PQ) = x , dan  n(P) = n(Q).  Ditanyakan:  n(PQ)  = ?

Jawab:                                               n(P) = n(P-Q) + n(PQ)  = x2 + x

n(Q) = n(Q-P) + n(PQ)  = 12 – x + x = 12

Karena  n(P)  =  n(Q), maka  x2 + x  = 12  atau

x2 + x – 12 = 0  atau  (x + 4) ( x – 3) = 0  diperoleh:

P  Q                  x1 = – 4   dan  x2 = 3

n(PQ) = n(P) + n(Q) – n(PQ)

= x2 + x  + 12   – x

= x2 + 12

untuk x = -4  tidak mungkin, jadi

untuk x = 3, diperoleh n(PQ) = 32 + 12 = 9 + 12 = 21

6.   Berapa banyak bilangan bulat x , bila  1 ≤  x  ≤  1000, dan yang merupakan kelipatan

3 atau kelipatan 5 ?

Jawab:  misal  A = { x | x = bilangan bulat kelipatan 3, 1 ≤  x  ≤  1000 },

= { 3, 6, 9, 12, ……….., 999 }  à  n(A) = ?

Cara I: Sn = a + (n-1) b  (Suku ke n Deret Aritmatik, a = 3, b = 3)

999 = 3 + (n-1) 3  à n = 999/3  = 333

Cara II:

n(A) = int(1000/3) = 333

misal  B = { x | x = bilangan bulat kelipatan 5, 1 ≤  x  ≤  1000 },

= { 5, 10, 15, 20, ……….., 1000 }  à  n(A) = ?

Cara I: Sn = a + (n-1) b  (Suku ke n Deret Aritmatik, a = 5, b = 5)

1000 = 5 + (n-1) 5  à n = 1000/5 = 200

Cara II:

n(A) = int(1000/5) = 200

misal  AB = { x | x = bilangan bulat kelipatan 3 & 5, 1 ≤  x  ≤  1000 },

= { 15, 30, 45, 60, ……….., 990 }  à  n(A) = ?

Cara I: Sn = a + (n-1) b  (Suku ke n Deret Aritmatik, a = 15, b = 15)

990 = 15 + (n-1) 15  à n = 990/15 = 66

Cara II:

n(AB) = int(1000/15) = 66

misal  AB = { x | x = bilangan bulat kelipatan 3 atau 5, 1 ≤  x  ≤  1000 },

n(AB) = n(A) + n(B) – n(AB)  = 333 + 200 – 66  =  467

7.   Berapa banyak bilangan genap x , bila  1 ≤  x  ≤  1000, dan yang merupakan kelipatan 3 atau kelipatan 5 ?

Jawab:  misal  A = { x | x = bilangan genap kelipatan 3, 1 ≤  x  ≤  1000 },

= { 6, 12, 18, 24, ……….., 996 }  à  n(A) = ?

Cara I: Sn = a + (n-1) b  (Suku ke n Deret Aritmatik, a = 6, b = 6)

996 = 6 + (n-1) 6  à n = 996/6  = 166

Cara II:

n(A) = int(1000/(2.3)) = 166

misal  B = { x | x = bilangan genap kelipatan 5, 1 ≤  x  ≤  1000 },

= { 10, 20, 30, 40……….., 1000 }  à  n(A) = ?

Cara I: Sn = a + (n-1) b  (Suku ke n Deret Aritmatik, a = 10, b = 10)

1000 = 10 + (n-1) 10  à n = 1000/10 = 200

Cara II:

n(A) = int(1000/(2.5)) = 100

misal  AB = { x | x = bilangan genap kelipatan 3 & 5, 1 ≤  x  ≤  1000 },

= { 30, 60, 90, ……….., 990 }  à  n(A) = ?

Cara I: Sn = a + (n-1) b  (Suku ke n Deret Aritmatik, a = 30, b = 30)

990 = 30 + (n-1) 30  à n = 990/30 = 33

Cara II:

n(AB) = int(1000/(2.15)) = 33

misal  AB = { x | x = bilangan genap kelipatan 3 atau 5, 1 ≤  x  ≤  1000 },

n(AB) = n(A) + n(B) – n(AB)  = 166 + 100 – 33  =  233

 

8.   Berapa banyak bilangan ganjil x , bila  1 ≤  x  ≤  1000, dan yang merupakan kelipatan

3 atau kelipatan 5 ?

Jawab:  misal  A = { x | x = bilangan ganjil kelipatan 3, 1 ≤  x  ≤  1000 },

= { 3, 9, 15, 21, ……….., 999 }  à  n(A) = ?

Cara I: Sn = a + (n-1) b  (Suku ke n Deret Aritmatik, a = 3, b = 6)

999 = 3 + (n-1) 6  à n = 1002/3  = 167

Cara II:

n(A) = int(1000/(2.3) + 1 = 167 ( + 1, sebab 6*166 =996)

misal  B = { x | x = bilangan ganjil kelipatan 5, 1 ≤  x  ≤  1000 },

= { 5, 15, 25, 35, ……….., 995 }  à  n(A) = ?

Cara I: Sn = a + (n-1) b  (Suku ke n Deret Aritmatik, a = 5, b = 10)

995 = 5 + (n-1) 10  à n = 1000/10 = 100

Cara II:

n(A) = int(1000/(2.5) = 100

misal  AB = { x | x = bilangan ganjil kelipatan 3 & 5, 1 ≤  x  ≤  1000 },

= { 15,  45, 75,  ……….., 975 }  à  n(A) = ?

Cara I: Sn = a + (n-1) b  (Suku ke n Deret Aritmatik, a = 15, b = 30)

975 = 15 + (n-1) 30  à n = 990/30 = 33

Cara II:

n(AB) = int(1000/(2.15) = 33

misal  AB = { x | x = bilangan bulat kelipatan 3 atau 5, 1 ≤  x  ≤  1000 },

n(AB) = n(A) + n(B) – n(AB)  = 167 + 100 – 33  =  234

Iklan

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s