MATEMATIKA DASAR : BAB 4

ALJABAR  FUNGSI

Misalkan  f dan g  adalah fungsi yang bernilai riil  dari  R ke R.

( R = himpunan bilangan riil, misalnya sumbu x & sumbu y)

Domain  D  yang memenuhi Aljabar Fungsi berikut ini adalah:

a).  (f + g) (x)  = f(x) + g(x) ,  Df+g = Df ∩ Dg

b).  (f – g) (x)   = f(x) – g(x) ,  Df-g  = Df ∩ Dg

c).  (f . g) (x)   = f(x) . g(x) ,  Df.g   = Df ∩ Dg

d).  (f / g) (x)   = f(x) / g(x) ,  Df/g   = Df ∩ Dg ,  g(x) ≠ 0

Contoh:

Diketahui  f(x) = x2  dan  g(x) = √ (x + 2).

Tentukan :   a). Daerah asal (Domain)  dari : f + g, f – g, f.g, f/g

b). Rumus  f.g,  f +  g

Jawab:

a).  Df = R = himpunan bilangan riil.

Dg = { x |  -2 ≤ x < ∞ }

Df+g  = Df ∩ Dg = { x |  -2 ≤ x < ∞ }

Df-g  = Df ∩ Dg= { x |  -2 ≤ x < ∞ }

Df.g  = Df ∩ Dg= { x |  -2 ≤ x < ∞ }

Df/g  = Df ∩ Dg – {2} = {x| 2<x<∞}

b). Rumus  (f.g) (x) = f(x) . g(x) =  x2  √ (x + 2).

Rumus  (f + g) (x) = f(x) + g(x) = x2 + √ (x + 2).

Gambar

Gambar

Jawab:
(g o f) (x) = g( f(x) ) = g( 3x+4 ) = (3x+4)2 – 1= 9×2 + 24 x + 15
(f o g) (x) = f( g(x) ) = f(x2 – 1) = 3(x2 – 1)+4 = 3×2 + 1
Jadi g o f ≠ f o g

3. Diketahui fungsi f dan g: g(x) = 3x + 2, (gof)(x) = x2 + 3x + 4.
Tentukan rumus f(x) dan f(2x+1) !
Jawab: (g o f) (x) = g( f(x) ) = 3 f(x) + 2
3 f(x) + 2 = x2 + 3x + 4
 f(x) = ⅓ x2 + x + ⅔
f(2x+1) = ⅓ (2x+1)2 + (2x+1) + ⅔
= ⅓ (4×2+4x+1) + ⅓ (6x+3) + ⅔
= ⅔ (2×2 + 5x + 3)

4. Diketahui fungsi f dan g: f(x) = x – 6, (gof)(x) = x2 + 5x + 6
Tentukan rumus g(x) dan g(2x+1) !
Jawab:
(g o f) (x) = g( x – 6 ) = x2 + 5x + 6
misal: y = x – 6  x = y + 6
Jadi g( y ) = (y+6)2 + 5 (y+6) + 6
= y2 + 12 y + 36 + 5 y + 30 + 6
= y2 + 17 y + 72
Jadi g(x) = x2 + 17 x + 72
g(2x+1) = (2x+1)2 + 17 (2x+1) + 72
= 4 x2 + 38 x + 90

5. Diketahui fungsi f : f(x) = 2x + 4,
Dengan cara fungsi komposisi tentukan f-1 !
Jawab:
Cara 1: Rumus ( f o f-1 )(x) = x
Tapi ( f o f-1 )(x) = f ( f-1(x) ) = 2 f-1(x) + 4
Jadi x = 2 f-1(x) + 4 atau f-1(x) = ½ ( x – 4 )

Cara 2: Rumus (f-1 o f)(x) = x atau f-1( f(x) ) = x atau f-1(2x+4)) = x
Misal y = 2x + 4  x = ½ (y – 4)
Sehingga f-1(y) = ½ (y – 4) atau f-1(x) = ½ (x – 4)

6.3. JENIS-JENIS FUNGSI RIIL

Fungsi Riil adalah fungsi yang domain dam kodomainnya berupa bilangan riil, yaitu yang dapat digambarkan grafiksnya dalam sumbu XOY, atau koordinat Kartesian.
Beberapa Fungsi Riil yaitu:

6.3.1. FUNGSI POLINOM ( SUKU BANYAK ) P(x):
f(x) = Pn(x) = aoxn + a1xn-1 + a2xn-2 + …..+ aixn-i + ….+ an-1x + an
ai R, i= 0,1,2,….n
(i). Fungsi Linier: f(x) = ax + b, a ≠ 0 ( Garis Lurus )
(ii). Fungsi Kuadrat: f(x) = a x2 + bx + c, a ≠ 0 ( Parabola )
(iii). Fungsi Kubik (Pangkat Tiga) : f(x) = a x3 + b x2 + cx + d, a ≠ 0
a, b c , d = konstanta

6.3.2. FUNGSI ALJABAR
a). Fungsi Pecah: f(x) = P(x) / Q(x), Q(x) ≠ 0
Contoh f(x) = (x-4) / (x –7)
b). Fungsi Irasional:
Contoh: f(x) = x + √(x-x2)
Pada umumnya Fungsi Aljabar adalah Fungsi Implisit.
Untuk y = f(x) = x + √(x-x2), setelah dikuadratkan diperoleh:
y2 – 2 xy + ( 2×2-x) = 0 ini adalah fungsi implisit.

6.3.3. FUNGSI TRANSEDEN:
a). Fungsi Eksponensial: f(x) = ax, a ≠ 0, a ≠ 1, f(x) = ex, …
b). Fungsi Logaritma : f(x) = alogx, a ≠ 0, a ≠ 1, f(x) = ln x, …
c). Fungsi Trigonometri: f(x) = sin x, f(x) = cos x, f(x) = sin x tan x, …
d). Fungsi Siklometri: f(x) = arcsin x  x = sin y, f(x) = arctan x, ….
e). Fungsi Hiperbolik: f(x) = sinh x = ½ (ex – e-x), f(x) = cosh x, …

6.3.4. Selain Fungsi-Fungsi diatas:
a). Fungsi Genap: f(-x) = f(x), contoh: cos(-x) = cos x
b). Fungsi Ganjil: f(-x) = – f(x), contoh: sin(-x) = – sin x
c). Fungsi Periodik: f(x+T) = f(x), contoh: sin(x+2π)=sin x
d). Fungsi harga mutlak: f(x) = | x |, f(x) = | sin x |, ….
e). Fungsi Tangga: f(x) = [ x ] = bilangan bulat terbesar yang ≤ x
f). Fungsi monoton: M. Turun: f(x1) < f(x2); M. Naik: f(x1) > f(x2), (x1 < x2)
g). (Fungsi) Lingkaran: x2 + y2 = r2 ( Lingkaran pusat O(0,0) jari-jari r )
(x-a)2 + (y-b)2 = r2 ( Lingkaran pusat (a,b) jari-jari r )
h). (Fungsi) Elips : x2/a2+ y2/b2 = 1, a ≠ b ( Elips pusat O(0,0) )
(x-a)2/a2 + (y-b)2/b2= 1 ( Elips pusat (a,b) )
i). (Fungsi) hiperbola: x2/a2 – y2/b2 = 1 ( hiperbola pusat O(0,0) )
(x-a)2/a2 – (y-b)2/b2= 1 ( hiperbola pusat (a,b) )

6.4. FUNGSI LINIER ( PERSAMAAN GARIS LURUS )

Akan di bahas tentang :
1. Bentuk umum persamaan garis lurus.
2. Pembentukan persamaan garis lurus
3. Hubungan dua garis lurus.
4. Menentukan titik potong dua garis lurus.

6.4.1 Bentuk umum persamaan garis lurus.

Ada 2 macam : ( i ). y = a + b x , a dan b konstanta
Koefisien dari x yaitu b adalah koefisien arah garis
Persamaan garis ini dapat ditentukan apabila diketahui dua
titik yang melalui garis tersebut.
y=a+bx
a = penggal garis y untuk x = 0
α dy b = lereng (koefisien arah)
a dx = dy/dx = tan α
0 x

( ii ). y – y1 = b ( x – x1 ), b = koefisien arah garis, sedang
(x1, y1) adalah suatu titik yang dilalui garis tersebut.
Jadi persamaan garis ini dapat ditentukan apabila
diketahui b dan suatu titik yang dilaluinya.

6.4.2. Pembentukan persamaan garis lurus

Pada prinsipnya untuk membentuk suatu persamaan garis lurus,
diperlukan dua unsur. Persamaan garis lurus dapat dibentuk bila :
a. Diketahui dua koordinat titik atau
b. Diketahui satu koordinat titik dan satu lereng (koef.arah)
c. Diketahui satu penggal garis dan satu lereng
d. Diketahui dua penggal garis

a). Diketahui dua koordinat titik (x1, y1) dan (x2, y2),

Cara I:
Rumus persamaan garis lurus : y – y1 x – x1
y2 – y1 x2 – x1
Contoh persamaan garis melalui A(2,3) dan B(6,5) adalah
Rumus persamaan garis lurus : y – 3 x – 2
5 – 3 6 – 2
y – 3 x – 2  4y – 12 = 2x – 4
2 4 y = 2 + ½ x //
Cara II:
Rumus persamaan garis lurus : y = a + b x
Titik A(2,3) dan B(6,5) dimasukkan ke persamaan, diperoleh:
3 = a + 2 b (1) dan
5 = a + 6 b (2)
diperoleh -2 = – 4 b  b = ½ masuk (1)
diperoleh 3 = a + 1  a = 2
Jadi persamaan garis lurus yang dimaksud adalah y = 2 + ½ x //

y=2+½x B(6,5)

A(2,3)

0 2 6 x

b). Diketahui satu koordinat titik (x1, y1) dan satu lereng (koef.arah) m
Rumus persamaan garis lurus : y – y1 = m ( x – x1 )
Contoh persamaan garis melalui A(2,3) dengan lereng m = 2 adalah
y – 3 = 2 ( x – 2 )  y = 2x – 1

c). Diketahui satu penggal garis dan satu lereng
Bila diketahui penggal garis pada sumbu y: a = 5 dan lereng b = 3, maka
persamaan garis y = a + bx akan diperoleh persamaan garis yang
dimaksud adalah y = 5 + 3 x

d). Diketahui dua penggal garis
Cara I:
Bila diketahui 2 penggal garis, katakan x1 dan y1, maka akan diperoleh
dua titik A(x1, 0) dan B(0, y1), jadi penyelesaiannya sama dengan
apabila diketahui 2 koordinat titik yang dilalui garis yang dimaksud ( a) ).

Cara II:
Bila diketahui 2 penggal garis, katakan y= a dan x=-c, maka akan diperoleh
persamaan garis : + = 1 atau y = a + x

y=a+bx
a = penggal garis y untuk x = 0
c = penggal garis x untuk y = 0
a b = tan α = a/c
-c α 0 x

6.4.3. Hubungan dua garis lurus

Dua garis g dan h, dengan persamaan g: y = a + b x
h: y = c + d x
i). Berimpit, bila a = c dan b = d atau g = kelipatan dari h
ii). Sejajar, bila a ≠ c dan b = d
iii). Berpotongan, bila b ≠ d
iv). Berpotongan tegak lurus, bila bd = -1

1. Mencari titik potong dua garis lurus

Untuk mencari titik potong dua buah garis dapat dilakukan dengan 3 cara:
a). Cara substitusi
b). Cara eliminasi
c). Cara determinan

a). Cara substitusi
Contoh: Carilah titik potong dua buah garis 2x + 3y = 21 dan x + 4y = 23
Jawab: 2x + 3y = 21 ….. (i)
x + 4y = 23 …..(ii)
dari (ii) diperoleh x = 23 – 4 y …. (iii)
(iii) masuk (i) diperoleh 2 (23 – 4 y ) + 3y = 21  …..
46 – 5y = 21  25 = 5y  y = 5 ….(iv)
(iv) masuk (i) diperoleh 2x + 3 ( 5 ) = 21  2 x = 21 – 15
2x = 6  x = 3
Jadi titik potong kedua garis tersebut adalah ( 3, 5 ) //

b). Cara eliminasi
Contoh: Carilah titik potong dua buah garis 2x + 3y = 21 dan x + 4y = 23
Jawab: 2x + 3y = 21 ………. (i)
x + 4y = 23 (x 2)…..(ii)
0 – 5 y = – 26  y = 5 … (iii)

(iii) masuk (i) diperoleh 2x + 3 ( 5 ) = 21  2 x = 21 – 15
2x = 6  x = 3
Jadi titik potong kedua garis tersebut adalah ( 3, 5 ) //

c). Cara determinan
Dua garis g dan h, dengan persamaan g: a x + b y = c
h: d x + e y = f
Penyelesaian 2 persamaan garis di atas adalah ( x, y ) yang merupakan titik
potong kedua garis tersebut. Dengan cara determinan, maka:
x = dan y =

di mana D = determinan koefisien x dan y = a b = a e – b d
d e

Dy = determinan konstanta dan koefisien y = c b = c e – b f
f e
Dy = determinan koefisien x dan konstanta = a c = a f – c d
d f

Contoh: Carilah titik potong dua buah garis 2x + 3y = 21 dan x + 4y = 23
dengan cara determinan !
Jawab :
D = 2 3 = 2 . 4 – 3 . 1 = 8 – 3 = 5
1 4

Dx= 21 3 = 21 . 4 – 3 . 23 = 84 – 69 = 15
23 4

Dy= 2 21 = 2 . 23 – 21 . 1 = 46 – 21 = 25
1 23

x = Dx / D = 15 / 5 = 3 Titik potong ( 3 , 5 ) //
y = Dy / D = 25 / 5 = 5

Iklan

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s