MATEMATIKA DASAR : BAB 5

LINGKARAN DAN ELIPS

LINGKARAN

Definisi lingkaran adalah : tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik tertentu. Jarak yang sama itu disebut jari-jari lingkaran dan titik tertentu itu disebut pusat lingkaran.
P
Luas lingkaran : L = π r2
P
Keliling lingkaran : K = 2 π r

P ( π = 22/7 )

PERSAMAAN LINGKARAN PUSAT

PERSAMAAN LINGKARAN PUSAT O( 0, 0 )
Persamaan lingkaran dengan pusat O(0,0) dan berjari-jari r.
Persamaan lingkaran dengan pusat O dan jari-jari r adalah: x2 + y2 = r2 ……. ( 1 )

Misalkan, Persamaan lingkaran dengan pusat O dan jari-jari r dapat dinyatakan dengan notasi pembentuk himpunan sebagai berikut : L = { ( x, y ) | x2 + y2 = r2 }

Contoh soal :
Diketahui titik A(2,-1) dan titik B(-2,1). Tentukan persamaan lingkaran, jika AB merupakan garis tengah (diameter) lingkaran itu. Gambarkan grafiksnya !

Jawab:
Karena AB adalah diameter lingkaran, maka koordinat pusat lingkaran itu merupakan titik tengah dari titik A dan titik B.
Koordinat titik tengah dari titik A(xA, yA) dan titik B (xB, YB) adalah
( xT,yT) = ( (xA + xB ), (yA + YB)).
Untuk titik A(2,-1) dan titik B(-2,1), maka koordinat titik tengahnya adalah
( xT,yT) = ( (2-2), (-1+ 1)) = (0,0)
Jadi, pusat lingkaran di O(0,0).
Jari-jari lingkaran adalah OA = = . atau OB = …….. = .

Dengan demikian,persamaan lingkaran itu dapat dinyatakan sebagai
x2 + y2 = atau x2 + y2 = 5

Gambar

PERSAMAAN LINGKARAN PUSAT  P( a, b ) ,    a ≠ 0, b ≠ 0

Pengertian persamaan Lingkaran yang berpusat di A(2, 1) dan berjari-jari 3 dengan cara

himpunan M dan N:

Gambar

Daerah M yang diraster diatas menunjukan himpunan titik-titik yang berjarak 3 satuan atau kurang dari titik A(1, 2). Daerah M dapat dinyatakan dengan notasi pembentuk himpunan sebagai berikut:

M = { P(x, y) | AP ≤ 3}

Dibaca : M adalah himpunan semua titik P(x,y) yang berjarak 3 satuan atau kurang dari titik A.

Jika p (x, y) , maka AP dapat ditentukan dengan menggunakan rumus jarak dua titik yaitu :

Gambar

Daerah N yang diarsir diatas menunjukan titik-titik yang berjarak 3 satuan atau lebih dari titik A(1, 2). Daerah N dapat dinyatakan dengan notasi pembentuk himpunan sebagai berikut :

 N = { P(x, y) | AP ≥ 3}

Dengan menggunakan perhitungan yang sama seperti pada himpunan M, maka himpunan N dapat dinyatakan pula sebagai berikut :

Gambar

Gambar

Misalkan P(x, y) adalah sembarang titik yang terletak pada keliling lingkaran . buatlah garis g yang melalui titik pusat A (a, b) dan sejajar dengan sumbu X,  serta P’ adalah proyeksi P pada garis g,  sehingga segitiga AP’P merupakan segitiga siku-siku di P’ dengan sisi-sisi

AP’ =  (x – a),   PP’= (y – b),   dan AP = r (jari-jari lingkaran).

Karena titik P(x, y) kita ambil sembarang, maka persamaan    +   = r2  berlaku untuk semua titik P(x, y) yang terletak pada keliling lingkaran itu. Dengan demikian kita dapar menyatakan hal sebagai berikut.

Persamaan lingkaran denga pusat A(a, b) dan jari-jari r adalah

  +   = r2                                     ……( 2 )

Apabila dinyatakan dengan notasi pembentuk himpunan dapat dituliskan sebagai berikut:

L ≡ { (x, y) |   ( x – a )2 + ( y – b )2  = r2}                

Persamaan ini disebut persamaan lingkaran baku.

Dalam arti jika persamaan lingkaran baku itu diketahui, maka kita dengan segera dapat menentukan pusat sekaligus jari-jarinya . misalkan,

a)    Jika  L ≡   +   = 25   , maka pusat (3, 4), dan jari-jari r =  = 5

b)    Jika  L ≡   +   = 16  , maka pusat (-1, 5), dan jari-jari r =  = 4

c)    Jika  L ≡   +   = 12  , maka pusat (2, -3), dan jari-jari r =  = 2

d)    Jika  L ≡ (x + 1)2  + ( y + 2 )2  = 9  , maka pusat (-1, -2), dan jari-jari r =  = 3

Contoh Soal-Jawab:

a)    Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat (-2, 2) dan jari-jari 3.

b)    Gambarkan lingkaran pada soal a).

c)    Pada gambar yang anda peroleh pada soal b) , lukiskan titik-titik P(1, 3), Q(-4, 2), dan R(2, 4).

d)    Dapatkah anda menyebutkan di mana kedudukan titik-titik  P, Q, dan R terhadap lingkaran? Di dalam, pada, ataukah di luar lingkaran?

Jawab :

a)    Persamaan lingkaran dengan pusat A(-1, 2) dan jari-jari r = 3 dapat dinyatakan sebagai  (x – (-1))2  + ( y – 2 )2   = (3)2

  • (x + 1)2  + ( y – 2 )2   = 9

Dalam notasi pembentukan himpunan dituliskan sebagai:

L ≡ { (x, y) | (x + 1)2  + ( y – 2 )2    = 9}

PERSAMAAN UMUM LINGKARAN

x2 + y2 ± 2Ax ± 2By ± C = 0 …………………………….( 3 )

Untuk memudahkan membuat grafiksnya, harus dirubah dulu menjadi persamaan pusat,
Seperti pada persamaan ( 2 ), yaitu : + = r2
Dari ( 3 ) : x2 + y2 – 2Ax – 2By + C = 0 dapat dirubah menjadi :
( x – A )2 + ( y – B )2 – A2 – B2 + C = 0
( x – A )2 + ( y – B )2 = A2 + B2 – C
Ini adalah persamaan lingkaran dengan pusat (A,B) dan jari-jari r =

Ciri-ciri persamaan ( 3 ) yang merupakan persamaan lingkaran adalah : koefisien x2 dan y2
harus = 1 atau sama besar yang tidak sama dengan nol, tapi harus bertanda sama ( sama-sama positif atau sama-sama negatif.

PERSAMAAN LINGKARAN DALAM KOORDINAT POLAR
x = r cos Ө ; y = r sin Ө; x2 + y2 = r2

1. r = 2 (lingkaran) y

atau . r2 = 22 
x2 + y2 = 4  P(0,0)
(lingkaran pusat P(0,0) jari-jari r = 2) x

2. r = 2 cos Ө (lingkaran)
atau r = 2 x/r  y
x2 – 2x + y2 = 0  P(1,0)
(x-1)2 + y2 = 1 x
(lingkaran pusat P(1,0) jari-jari r = 1)

3. r = 2 sin Ө (lingkaran)
atau r = 2 y/r 
x2 – 2y + y2 = 0  P(0,1)
x2 + (y-1)2 = 1
(lingkaran pusat P(0,1) jari-jari r = 1)

ELIPS

Definisi ELIPS adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua buah titik tertentu

Kedua titik tertentu itu disebut titik fokus. ( TF2 +TF1 = 2a ). T adalah suatu titik yang terletak pada Elips. Sedang F1 dan F1 adalah titik-titk Fokus Elips.

Gambar

Catatan:

 Luas elips   LE  =  π  a b;     Keliling elips    KE =  2  π

Sumbu simetris yang melalui titik-titik focus F1 dan

F2 disebut sumbu utama atau sumbu Transversal. Panjang F1 F2 = 2 c

–          Sumbu utama ini berpotongan dengan Elips di titik-titik A1 dan A2, masing-masing disebut puncak elips.

–          Ruas  garis A1 A2 disebut sumbu panjang atau sumbu mayor, yg panjangnya = 2a

–          Sumbu-sumbu yang melalui titik tengah F1 dan F2 yang tegak lurus F1 F2 disebut sumbu sekawan atau sumbu konjugasi. Sumbu sekawan ini  berpotongan dengan  elips di titik-titik B1 dan B2.

–          Ruas garis B1 B2 disebut sumbu  pendek atau sumbu minor, yg panjangnya = 2b

PERSAMAAN   ELIPS  DALAM KOORDINAT POLAR

1. Dalam Koordinat Polar, secara umum  r =   ,  a = konstanta

(i).    є  < 1    à  ellips

(ii).   є  = 1    à  parabola

(iii).  є  > 1    à  hiperbola

(i).   є  = ½ < 1    à  ellips  à r =  à

r – r cos Ө = 2 a à r  =  r cos Ө  +  2 a

√(x2 + y2) =  x + 2 a à                                       P

x2 + y2 = (x + 2 a)2 à

= x2 + 2 ax + 4a2à

x2 – 2 a x + y2  =  4a2

(x2 –  a x )+ y2  =  4a2

+ y2  =  4a2 +  a2

+ y2 =  a2   à ellips denngan pusat (a, 0)

Iklan

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s