MATEMATIKA DASAR : BAB 8

FUNGSI EKSPONENSIAL DAN LOGARITMA

Definisi Penggunaan fungsi eksponen diterapkan pada bidang
ekonomi, fisika, pertanian dan sebagainya.

Fungsi eksponen f dengan bilangan pokok a (a konstanta)
adalah fungsi yang didefinsikan dengan rumus :

F(x) = ax, a > 0, dan a ≠ 1

GRAFIK FUNGSI EKSPONEN

Gambar

Fungsi f(x) = ax, untuk 0 < a < 1

Lukislah grafik fungsi f(x) = (½)x
Jawab :
Dengan menggunakan nilai-nilai dalam tabel berikut ini, kita dapat melukiskan kurva mulus untuk fungsi g(x) = (½)x = 2-x

Gambar

Berdasarkan kedua grafik pada Gambar 7.1 dan 7.2 dapat kita simpulkan bahwa :
F(x) = g(-x)
g(x) = (½)x adalah pencerminan terhadap sumbu Y dari grafik f(x)= 22 atau kedua grafik tersebut simetris terhadap sumbu Y.

Gambar

PERSAMAAN FUNGSI EKSPONENSIAL
A. Persamaan Eksponen Berbentuk af(x) = ap
Untuk menyelesaikan persamaan yang berbentuk af(x) = ap, a>0 dan a ≠ 1 kita gunakan sifat berikut :
af(x) = ap <==>f(x) = p

B. Persamaan Eksponen Berbentuk af(x) = ag(x)
Persamaan berbentuk af(x) = ag(x) dan a ≠ 1 dapat diselesaikan dengan menggunakan sifat :
af(x) = ag(x) <==>f(x) = g(x)

C. Persamaan Eksponen berbentuk a . p2f(x) + b . pf(x) + c = 0
Terdapat suatu bentuk persamaan eksponen yang dapat dinyatakan dengan persamaan kuadarat.

D. Persamaan Eksponen Berbentuk ( h(x ) )f(x) = ( h(x) )g(x)
Pada persamaan eksponen yang berbentuk h(x)f(x) = h(x)g(x), f(x), g(x) dan h(x) masing-masing adalah suatu fungsi. Persamaan eksponen h(x)f(x) = h(x)g(x) mempunyai arti (terdefinsi) jika dan hanya jika memenuhi empat syarat berikut :

1. f(x) = g(x)
2. h(x) = 1
3. h(x) = 0 <==> f(x) > 0 dan g(x) > 0
4. h(x) = -1 <==> (-1)f(x) = (-1)g(x)

E. Persamaan Eksponen Berbentuk ( f(x) ) h(x) =( g (x) ) h(x)
Persamaan eksponen f(x) h(x) = g(x)h(x) teridefinisi jika dan hanya jika memenuhi dua kondisi berikut :
1. f(x) = g(x)
2. h(x) = 0 <==> f(x) ≠ 0 dan g(x) ≠ 0

PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN

Grafik fungsi eksponen dapat digunakan untuk menyelesaikan pertidaksamaan eksponen. Perhatikan grafik fungsi f(x) = ax dan g(x) = a-x, a > 1 berikut :
> Untuk gambar 7.4 (a), grafik fungsi f(x) = ax, a > 1: jika x2 > x1, maka f(x2) > f(x1).
> Untuk gambar 7.4 (b) grafik fungsi g(x) = a-x, a > 1: atau g(x) = ax, 0 < a < 1.
Jika x1 > x2, maka g(x1) < g(x2).

Sejarah Fungsi Logaritma
Alasan utama ditemukannya logaritma oleh John Napier (1550 – 1617) adalah efisiensi dalam operasi hitung perkalian, pembagian, pemangkatan, dan penarikan akar. Mengingat belum ada alat bantu hitung seperti kalkulator dan komputer, maka untuk mengalikan dua bilangan 7 angka memerlukan waktu yang cukup lama. Dengan menggunakan logaritma, kita cukup melakukan operasi penjumlahan, yang dapat dikerjkan dengan mudah dan cepat.

Napier memerlukan waktu kerja selama 20 tahun sebelum mempublikasikan metode logaritma hasil penemuannya. Logaritma Napier menggunakan basis 0,9999999. Hasil kerja napier ini dipublikaskan oleh Henry Brigss, seorang profesor geometri di Universitas Oxford, Inggris. Napier dan Briggs kemudian mendiskusikan pengembangan dan perbaikan metode tersebut. Henry Briggslah yang mengusulkan logaritma dengan basis 10 dan memberi istilah karakteristik dan mantisa untuk bagian bulat dan bagian desimal logaritma suatu bilangan.

Grafik Fungsi Logaritma
Di awal Bab sebelumnya telah dibahas bahwa fungsi eksponen ax naik untuk a > 1 dan turun untuk 0 < a < 1. Pada kedua kasus tersebutt, az adalah fungsi eksponen adalah fungsi logaritma. Seperti berikut ini:

Gambar

Fungsi logaritma dengan bilangan pokok a dinyatakan sebagai f(x) = alog x
Dengan definisi tersebut memudahkan kita untuk melukiskan grafik fungsi logaritma.

Persamaan Logaritma
Berikut ini adalah beberapa contoh soal persamaan logaritma, hitung x dari :
a. 3log x + 3log (x + 1) = 3log 2
b. 2log (2x – 3) + 4 = 2log (2x – 8)
c. xlog (5×3 – 4) = xlog x5
d. 5log2 x – 5log x3 + 2 = 0
Untuk menyelesaikan persamaan logaritma digunakan beberapa sifat logaritma.

A. Persamaan Logaritma Berbentuk alog f(x) = alog p
Untuk menyelesaikan persamaan alog f(x) = alog p, dimana a>0, a ≠ 1, dan f(x)>0, p > 0 dapat kita gunakan sifat :
alog f(x) = alog p <==> f(x) = p

B. Persamaan Logaritma Berbentuk alog f(x) = alog g(x)
Untuk menyelesaikan persamaan alog f(x) = alog g(x), dimana a>0, a≠1, dan f(x)>0, g(x) > 0 dapat kita gunakan sifat :
alog f(x) = alog g(x)<==> f(x) = g(x)

C. Persamaan Logaritma yang Dapat Dinyatakan dengan Persamaan Kuadrat
Persamaan logaritma dengan bentuk umum sebagai berikut,
A alog2 f(x) + B alog f(x) + C = 0, a > 0, a ≠ 1, dan f(x) > 0
serta A, B, C € R
Memiliki penyelesaian persamaan yang hampir sama dengan penyelesaian eksponen yang dapat dinyatakan menjadi persamaan kuadrat, dengan memisalkan alog f(x) = p.

D. Persamaan Logartima Berbentuk h(x)log f(x) = h(x)log g(x)
Untuk menyelesaikan persamaan h(x)log f(x) = h(x)log g(x), dimana h(x) > 0, h(x) ≠ 1, dan f(x), g(x) > 0 dapat kita gunakan sifat :
h(x)log f(x) = h(x)log g(x)<==> f(x) = g(x)

Pertidaksamaan Logartima
Perhatikan Gambar 7.11 berikut ini :

Gambar

Untuk gambar 7.11 (a)
½log ¼ = 2, sedangkan ½ log ½ = 1
Ternyata :
½log ¼ > ½log ½ tetapi ¼ < ½
Analog :
Jika ½log 2 > ½ log 8 maka 2 < 8
Secara umum, diambil kesimpulan sebagai berikut.
Untuk 0 < a < 1,
Jika alog x1 > alog x2, maka x1 < x2

Untuk gambar 7.11 (b)
2log 4 = 2, sedangkan 2 log 16 = 4
Ternyata :
2log 4 < 2log 16 dan 4 < 16
Analog :
Jika 2log 2 < 2 log 32 maka 2 < 32

Secara umum, diambil kesimpulan sebagai berikut:

Untuk a > 1,
Jika alog x1 < alog x2, maka x1 < x2 .

Iklan

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s