MATEMATIKA DASAR : BAB 9

LIMIT DAN SIFAT-SIFATNYA

2.1. Limit Barisan

Barisan : u1, u2, u3, ……….. un , ( un = suku ke n )
Barisan dikatakan konvergen, bila suku-sukunya mempunyai limit, kebalikannya dikatakan divergen.

Definisi:
Jika suku-suku suatu barisan mempunyai limit L, maka
lim un = L berarti bahwa untuk setiap ε > 0 terdapat indeks ni
n  ∞ ( ε & δ bilangan kecil )
sedemikian sehingga | un – L | < ε untuk n ≥ ni

Contoh:
Barisan (un), un = , L = 2, ε = , benarkah akan dapat ditemukan ni sedemikian sehingga n ≥ ni ?

Jawab: { Un } = 0, 1, , , , , ,………… ,…….., , ……≈ 2
u0 = 0, u1 = 1, u2 = , u3 = , …… u100 = , …..u1000 = , … u∞ ≈ 2.

Gambar

2.2. Limit Fungsi

Definisi:
Jika f(x) kontinu di x = c, dan f(c) = L, maka
= L berarti bahwa untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0
( ε & δ bilangan kecil )
sedemikian sehingga | f(x) – L | < ε untuk | x – c | < δ

Gambar

Sifat-sifat Limit:

Jika f(x) = A dan g(x) = B, maka
1). k f(x) = k A, k = konstanta
2). [ f(x) g(x) ] = f(x) g(x) = A B ,
3). [ f(x).g(x) ] = f(x) . g(x) = A . B ,
4). = = A / B
5). [ f(x) ]k = [ f(x) ] k = A k, k = konstanta

6). kf(x) = [ k ] = kA, k = konstanta
7). = = , n > 0
8). ln f(x) = ln f(x) = ln A , A > 0

Limit Fungsi Khusus:

1). Bila f(x) = 0 dan g(x) = ∞, maka
[ 1 + f(x) ]g(x) = e
2). = = 1
3). = = 1
4). ( 1 + 1/x )x = e, ( e = 2,71828 )
5). ( 1 – 1/x )-x = e,
6). ( 1 + x )1/x = e,
7). ( 1 – x )-1/x = e,
8). = 1

Contoh-Contoh Penyelesaian Soal-Soal Limit
A. Metode Biasa ( Dengan Menggunakan Rumus-Rumus Di atas )

1. = = a / p

2. = = ∞

3. = = 0

4. ( ) = ( ) x

5. = ?
= x
=
=
= = 1/2

6. = ?
Jawab:
1 + 2 + 3 + 4 + …….+ n merupakan Deret Aritmatika
Dengan a = 1, b = 1, un = n, jadi Sn = ½ n ( a + un )

=
=
=
= dibagi n2
= = =

7. = ?
= ( . ) =
= . = ( ) . 1. 6 = – 6/5 //

8. = ?
=
= .
= . . . . . 4
= 2. . . .
= 2 . 1 . 1 . 1 = 2 //

9. = ?
=
= .
= .
= 1 . 1 = 1 //

10. ( sec2x – sec x tan x ) = ?
=
=
=
=
= = = //

B. PENYELESAIAN SOAL-SOAL LIMIT METODE L’HOSPITAL

Penyelesaian soal-soal limit dengan menggunakan turunan atau derivatif yang ditemukan oleh L’Hospital ini sangat menguntungkan kita, karena lebih mudah dalam mengerjakannya apabila dibandingkan dengan cara biasa (tanpa turunan). Limit yang dapat diselesaikan dengan L’Hospital ini hanya yang berbentuk dan , sedangkan bentuk yang lain seperti bentuk : – , 00, 0, , 1 harus diubah dulu formasi fungsinya ke bentuk atau .

Oleh Hopital ditemukan dalil :

Gambar

Dari dalil tersebut berarti yang dapat menggunakan l’Hopital hanya bentuk dan , untuk bentuk-bentuk yang lain harus diubah menjadi atau kalau akan menggunakan l’Hopital, harus dijadikan bentuk atau .

Contoh :

1. = ?

Jawab:
bentuk , maka =
=
= =
Jadi = //

2. = ?

Jawab:
bentuk ,
maka = = //

3. = ?

Jawab:
bentuk ,
maka = = = 0 //

4. = ?

Jawab:
bentuk =
maka = = 1 //

5. = ?
Jawab:
=
=  l’Hopital 
= = -1 //

6. = ?
Jawab:
bentuk , harus diubah menjadi atau
= , ini sudah ,
barulah dengan l’Hopital, seperti berikut:
= = 0 //

7. (sin x . cot 2x) = ?

Jawab:
bentuk 0.∞
maka = bentuk = =
( ½ cos x cos2 2x ) = ½ .1.1 = 1/2 //

8. x.e-x = ? (∞.0)

Jawab:
= bentuk = = = 0 //

9. ( sin x )x = ? ( 00 )

Jawab: Dengan bantuan ln : Rumus : ln ap = p ln a
ln lim f(x) = lim ln f(x)

y = ( sin x )x  ln y = ln ( sin x )x = x . ln ( sin x )
= 0 . ln 0 = 0 . – ∞ = – 0 . ∞
= = bentuk = =
= . x cos x =
= x cos x = -1. 0. 1 = 0
ln y = 0  y = e0 = 1
Jadi: ( sin x )x = 1 //

10. ( tan x )cos x = ? ( ∞0 )

Jawab:
misal y = ( tan x )cos x
ln y = ln ( tan x )cos x = ln ( tan x )cos x =
= cos x . ln tan x = 
= = = = 0
ln y = 0  y = e0 = 1
Jadi ( tan x )cos x = 1 //

11. ( tan x )sec 2x = ? ( 1∞ )
Jawab: Misal y = ( tan x )sec 2x
ln y = ln ( tan x )sec 2x = sec 2x ln tan x =
=   l’Hopital 
= = = = – 1
ln y = – 1  y = ( tan x )sec 2x = e—1 = 1/e //
12. = ? ( 1- ∞ )

Jawab:
ln y = -> ( )
= 2 = 2. = 2 . 0 = 0
Jadi ln y = 0  y = e0 = 1 //

13. ( cos √x )1/x = ? ( 1∞ )

Jawab:
ln y = -> ( ) .
= – ½ = – ½ . 1.1 = – ½
 ln y = – ½  y = e-1/2 = //

 

Iklan

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s