STATISTIKA DAN PROBABILITAS : BAB 3

STATISTIK & PROBABILITAS

MODUL 03

UKURAN SIMPANGAN, DISPERSI DAN VARIASI

 

M03.1  PENDAHULUAN

 

            Kecuali ukuran gejala pusat ( Mean, Median, Modus ) dan ukuran letak ( Kuartil 1, 2, dan 3 ) masih ada lagi ukuran lain yaitu: ukuran simpangan atau ukuran dispersi. Ukuran-ukuran ini sering dinamakan ukuran variasi, yaitu ukuran yang menggambarkan bagaimana berpencarnya data kuantitatif.

Ukuran dispersi yang akan dibahas antara lain:  rentang, rentang antar kuartil, simpangan kuartil atau deviasi kuartil, rata-rata simpangan atau rata-rata deviasi, simpangan baku atau deviasi standar, varians dan koefisien variasi.

 

 

M03.2  RENTANG, RENTANG ANTAR KUARTIL DAN SIMPANGAN KUARTIL

 

                        Rentang  = data terbesar – data terkecil

 

Rentang hanya dapat dihitung untuk data tanpa kelas, jadi dapat dicari data terbesar dan yang terkecil. Untuk memudahkan pencarian data terkecil dan terbesar, data dapat terlebih dulu disortir ( diurutkan dari kecil ke besar ).

 

Rentang Antar Kuartil (RAK) adalah selisih antara Kuartil Atas ( K3 ) dengan Kuartil Bawah ( K1 ).

                        RAK = K3  –  K1

 

Simpangan Kuartil ( SK ) atau Deviasi Kuartil atau disebut juga Rentang Semi Antar Kuartil harganya adalah setengah dari Rentang Antar Kuartil:

 

                        SK = ½ SK = ½ ( K3  –  K1 )

 

 

M03.3  SIMPANGAN RATA-RATA

Jika selisih setiap datum xi dengan Mean (Rata-rata)  di tulis | xi | untuk i = 1, 2, …n dijumlahkan, kemudian dibagi banyaknya data n, maka menghasilakn Simpangan Rata-Rata (SR), ditulis

                                    SR =           i = 1, 2, … n

Image

 

 

M03.3  SIMPANGAN BAKU ( DEVIASI STANDAR ) ( S )

 

            S = simpangan baku untuk sampel

             = ( baca sigma ) adalah simpangan baku untuk populasi

            Varians = S2 untuk sampel,   Varians =  2  untuk populasi.

Image

Image

 

       Berikutnya, apabila sampel telah disusun dalam distribusi frekuensi, maka rumus S2 menjadi:

Image

 ( Disarankan untuk memakai rumus ke II )

Apabila data disusun dalam distribusi frekuensi berkelas, maka xi adalah nilai tengah dari masing-masing kelas.

 Image

Hasil yang diperoleh berbeda dengan di atas, karena  telah mengalami pembulatan,

Jadi hasil S2 = 172,1  lebih teliti daripada hasil S2 = 170,9.

 

Menghitung varians S2 dengan penyederhanaan (sandi):

 

Dipilih fi tertinggi, berarti dipilih A = 75,5, dan karena p = 10 jadi  ci = , sehingga :

Image

Image

            1). Jika tiap nilai data xi, ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama,

                  maka simpangan baku S tidak berubah.

            2). Jika tiap nilai data xi, dikalikan dengan bilangan yang sama d,

                  maka simpangan baku yang baru menjadi d kali simpangan baku asal.

 

MEAN DAN SIMPANGAN BAKU GABUNGAN

 

Jika ada k buah subsample dengan keadaan seperti berikut:

–       Subsample 1: berukuran n1 dengan mean   dan simpangan baku s1

–       Subsample 2: berukuran n2 dengan mean   dan simpangan baku s2

………………………………………………………………………………….

–       Subsample k: berukuran nk dengan mean   dan simpangan baku sk

Yang digabung menjadi sebuah sampel berukuran n = n1 + n2 + ……… + nk, maka

Image

Image

 

M03.4   BILANGAN BAKU DAN KOEFISIEN VARIASI

 

            Misalkan kita mempunyai sebuah sampel berukuran n dengan data x1, x2, …, xn

            sedangkan mean =  dan simpangan baku = s. Dari hal-hal di atas dibentuk data

            baru  z1, z2, …, zn  dengan rumus :  

                                    zi   =   untuk i  = 1, 2, …. n

            Data baru z1, z2, …, zn   ternyata mempunyai mean = 0  dan simpangan baku s = 1.

 

            Untuk data baru yang mempunyai mean  dan simpangan baku s0 ,

            dibentuk dengan rumus: 

                                                zi   =  + s0   untuk i  = 1, 2, …. N

            Data baru bilangan z ini sering disebut bilangan standar.

 

M03.5  DISTRIBUSI FREKUENSI dan KEMIRINGAN

 Image

Image

M03.5.3.  MODEL POPULASI

 

Poligon frekuensi yang merupakan garis patah-patah didekati oleh sebuah lengkungan halus yang bentuknya secocok-mungkin dengan bentuk poligon tersebut. Lengkungan yang didapat dinamakan kurva frekuensi.

Jika semua data dalam populasi dikumpulkan, lalu dibuat distribusi frekuensinya, maka kurva frekuensinya dapat menjelaskan sifat karakteristik populasi.

Image

Kurva Normal selalu Simetrik, tapi tidak sebaliknya.

 

         Pada Kurva Positif dan kurva negatif ada hubungan seperti berikut

 Image

Model Kurva Positif menggambarkan bahwa terdapat sedikit gejala yang bernilai makin besar.  Sedangkan Kurva Negatif  terjadi sebaliknya.

Soal ujian yang terlalu mudah, mengakibatkan banyak peserta ujuan yang mendapat nilai baik. Ini menggambarkan Kurva Negatif. Sebaliknya soal ujian yang terlalu sukar, hanya sedikit yang mendapat nilai baik.

 

M03.5.4.  KEMIRINGAN

            Kurva positif disebut juga kurva miring ke kiri, artinya kurvanya mempunyai ekor memanjang ke sebelah kanan.

Sebaliknya, kurva negative disebut juga kurva miring ke kanan, artinya kurvanya mempunyai ekor memanjang ke sebelah kiri.

Dalam keadaan kedua hal tersebut di atas, artinya kurvanya tak simetri.

Untuk mengetahui derajat tak simetri kurva, digunakan ukuran kemiringan seperti berikut ini:

            Kemiringan =   , ukuran kemiringan Pearson Tipe Pertama.

            Kemiringan =   , ukuran kemiringan Pearson Tipe Kedua.

 

 

M03.5.5.  KURTOSIS

           Kurtosis atau peruncingan selalu dikaitkan dengan kurva normal.

           Lepto kurtik adalah kurva yang terlihat lebih runcing dengan kurva normal.

           Meso kurtik adalah kurva yang terlihat mendekati kurva normal.

           Plati kurtik adalah kurva yang terlihat lebih datar dari pada kurva normal.

Image

            Kriteria yang didapat dari rumus ini adalah :

                        a).  a4= 3        à  distribusi normal

                        b).  a4> 3        à  distribusi lepto kurtik

                        a).  a4= 3        à  distribusi plati kurtik

 

            Untuk menyelidiki apakah distribusi normal atau tidak, sering pula dipakai ukuran koefisien kurtosis persentil, diberi symbol Қ ( baca Kappa ), rumusnya:

Image

Kedua gambar di atas (kurva berbentuk J) memperlihatkan fenomena kejadian dalam dunia ekonomi, industry, bursa saham dan fisika. Suatu saat harga-harga naik terus. Suatu saat harga-harga turun terus. Misal pada harga-harga saham di bursa saham di suatu hari, kadang-kadang naik terus, tapi di hari berkutnya turun terus. Contoh lain: sering terjadi harga-harga kebutuhan pokok naik terus menjelang Idul Fitri.

Iklan

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s