MULTIMEDIA DAN ANIMASI : BAB 4

MENGGUNAKAN FLASH

A. Mengatur Halaman Kerja

1. Menampilkan Grid
Grid digunakan untuk mempermudah pengaturan kesimetrisan halaman kerja. Untuk menampilkannya, pilih menu View – Grid – Show Grid atau dapat dengan menekan shortcut key Ctrl + ‘.

2. Menampilkan Garis
Pilih menu View – Ruller atau dapat dengan menekan shortcut key Ctrl + Alt + Shift + R.

3. Mengatur warna dan ukuran stage
Pilih menu Modify – Document hingga terlihat window Document Properties.

Dalam window document Properties tersebut anda dapat menentukan :

  • Property Lebar dan Tinggi lembar kerja anda dalam kolom Dimension agar sesuai dengan yang anda inginkan.
  • Background Color untuk mengganti warna latar belakang sesuai dengan warna latar yang anda inginkan.
  • Frame rate untuk menentukan jumlah frame yang dimainkan per detiknya dengan ukuran fps atau frame per second.
  • Ruler Unit untuk mengubah ukuran sesuai dengan yang anda inginkan.

4. Memahami Timeline
Timeline berisi layer dan frame.

  • Memahami Layer
    Layer berarti lapisan, yaitu lapisan objek yang bertumpuk dengan urutan tertentu. Urutan layer didasarkan pada posisinya. Layer digunakan untuk mempermudah pengeditan setiap objek, baik itu pengeditan animasi maupun bentuk.
  • Memahami Frame
    Apabila film memiliki rool yang berisi rekaman gambar-gambar, maka fungsi frame tidak berbeda dengan itu, yaitu sebagai tempat pengaturan penampakan objek.

5. Library
Fungsi library dapat digambarkan sebagai perpustakaan yaitu sebagai tempat penyimpanan objek yang dapat digunakan secara berulang-ulang. Objek yang diimport dari luar akan masuk dan disimpan dalam library. Penggunaan file dari library tidak menambah ukuran file, walaupun digunakan berulangkali. Mengaktifkan Library dapat dipilih dengan Shortcut key Ctrl + L.

MENGENAL ACTION SCRIPT

Dalam Flash kita dapat membuat objek dalam aplikasi yang kita buat menjadi lebih interaktif. Untuk membuat interaktivitas dalam Flash kita dapat mengunakan perintah-perintah yang biasa disebut dengan Actionscript. Pada dasarnya actionscript yang kita buat hampir sama dengan bahasa pemrograman Javascript, maka jika anda telah terbiasa dengan bahasa pemrograman ini
maka ini akan sangat membantu anda dalam membuat aplikasi menggunakan actionscript ini. Dalam actionscript anda harus memahami tiga macam komponen untuk membuat aplikasi anda menjadi lebih interaktif, yaitu :
1. Event
Merupakan peristiwa yang terjadi untuk memicu sebuah aksi pada objek.
2. Action
Merupakan aksi atau kerja yang dikenakan atau diberikan pada suatu objek.
3. Target
Merupakan objek yang dikenai oleh aksi.
Actionscript dalam Flash MX Profesional 2004 terdapat dalam panel Action yang dapat anda tampilkan dengan memilih menu Window – Development Panel – Action, atau dengan menekan tombol F9 pada keyboard.
Dalam Panel Action, anda dapat mengetikkan perintah langsung ke dalam jendela yang tersedia, ataupun dengan memilih menu bantuan yang sudah disediakan pada panel.

MULTIMEDIA DAN ANIMASI : BAB 1

MENGENAL ANIMASI MACROMEDIA FLASH (Multimedia & Animasi)

Animasi pada Macromedia Flash sama halnya dengan film secara fisik, yang tersusun dari banyak frame dengan gambar-gambar penyusunnya. Frame yang mendefinisikan adanya perubahan pada objek disebut dengan keyframe.

Dalam dunia animasi Web, teknologi Flash kini seolah meraja, bagaimana tidak
keunggulan-keunggulan yang ditonjolkan membuat hampir semua hal yang terlihat rumit menjadi sedemikian simple dan gampang.

Dukungan terhadap Macromedia Flash belakangan ini semakin luas, format Flash Movie *.SWF kini dapat dibuat tidak hanya oleh Macromedia Flash saja. Aplikasi lain kini memasukkan *.SWF sebagai format file yang dapat dieksport dari aplikasi trsebut, misalnya

Adobe Illustrator atau CorelDraw. Jika anda telah membuat gambar pada aplikasi-aplikasi tersebut, anda dapat langsung mengekspornya ke dalam Flash. Tidak hanya aplikasi,bahkan kini scripting PHP pun dapat memuat format *.SWF.

Sesungguhnya Macromedia Flash MX adalah sebuah program standar untuk pembuatan animasi high-impact berbasis Web. Anda dapat membuat sebuah animasi logo, navigasi control Web site, animasi form yang panjang, sebuah website utuh berbasis Flash, atau aplikasi web lainnya menggunakan program aplikasi ini, anda akan menemukan kekuatan dan fleksibilitas dari program Flash ini yang sangat ideal untuk mewujudkan kreativitas anda.

MATEMATIKA DASAR : BAB 11

KONTINUITAS

Fungsi Kontinu

Definisi:
Jika f(x) kontinu di x = c, dan f(c) = L, maka
= L berarti bahwa untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0
( ε & δ bilangan kecil )
sedemikian sehingga | f(x) – L | < ε untuk | x – c | < δ

Gambar

Gambar

Gambar

Apabila salah satu dari ketiga syarat tidak terpenuhi, maka f(x) dikatakan tidak kontinu (diskontinu) di x = a. Suatu fungsi dikatakan kontinu pada suatu selang apabila kontinu di semua titik dalam selang tersebut.

Contoh-contoh :

Gambar

Gambar

Gambar

Gambar

Tentukan harga a dan b agar f(x) kontinu untuk semua harga x.

Penyelesaian :

a. Selidiki untuk x = 0

Gambar

Gambar

Gambar

Gambar

 

MATEMATIKA DASAR : BAB 10

LIMIT TAK HINGGA

Perhatikan kalimat-kalimat yang sering dijumpai dalam percakapan sehari-hari berikut ini:

1. Nilai ulangan matematika yang diperoleh Anton mendekati sempurna
2. Pelari X hampir saja melewati pelari Y
3. Pencemaran udara di kota A sedikit lagi mencapai batas normal.

Kata-kata seperti “mendekati”, “hampir saja”, dan “sedikit lagi” dapat dianalogikan sebagai pengertian “limit” dalam matematika.

Misalkan x adalah peubah real dan a adalah konstanta real. Kalau peubah x mendekati nilai a, maka proses pendekatan ke nilai a dapat dipandang dari dua arah, yaitu:

Gambar

1 Limit Tak Hingga dan Limit Menuju Tak Hingga

Terlebih dahulu diperhatikan masalah hitung limit berikut: . Untuk nilai-nilai x yang cukup dekat dengan 0, maka nilai-nilai diberikan pada table berikut ini.

Gambar

Dari Tabel 3.4.1 di atas dapat dilihat bahwa apabila nilai x semakin dekat dengan 0, maka nilai   menjadi semakin besar. Bahkan nilai   akan menjadi besar tak terbatas apabila x mendekati 0, baik dari sisi kiri maupun dari sisi kanan. Grafik fungsi   dapat dilihat pada Gambar 3.4.1.

Gambar

Dalam hal ini, dikatakan bahwa limit f(x) untuk x menuju nol sama dengan tak hingga, ditulis:

Gambar

Selanjutnya, diperoleh definisi berikut:

Gambar

Gambar

Di atas telah diterangkan pengertian limit untuk , dengan c suatu bilangan berhingga. Akan tetapi, dalam berbagai aplikasi sering ditanyakan bagaimana nilai apabila nilai x cukup besar.
Sebagai contoh, bagaimana nilai apabila nilai x cukup besar? Tabel di bawah memperlihatkan nilai f untuk berbagai nilai x. Ternyata semakin besar nilai x (arah positif), nilai semakin kecil mendekati nol. Dalam hal ini dikatakan:

Gambar

Kemudian dapat diturunkan pengertian limit menuju tak hingga. Hal itu dituliskan dalam definisi berikut.

Gambar

Gambar

Gambar

maka sifat limit perbagian tidak dapat digunakan. Namun demikian apabila pembilang dan penyebut sama-sama dibagi dengan   maka:

Gambar

LIMIT DENGAN METODE FAKTORISASI

Jika dengan cara substitusi langsung

Gambar

Maka perhitungan limit dilakukan dengan cara memfaktorkan ( faktorisasi ).

Fungsi f (x) dan g(x) diusahakan agar mempunyai faktor yang sama . misalnya faktor yang sama itu adalah ( x – a), maka :

Gambar

Gambar

Gambar

METODE MEMBAGI DENGAN PANGKAT TERTINGGI

Bentuk Gambar

dapat dihitung dengan cara membagi pembilang f (x) dan penyebut g (x) dengan   , dimana n adalah pangkat tertinggi dari f (x) atau g (x). agar lebih jelasnya. Lihatlah contoh berikut ini :

Gambar

Gambar

Gambar

Gambar

MATEMATIKA DASAR : BAB 9

LIMIT DAN SIFAT-SIFATNYA

2.1. Limit Barisan

Barisan : u1, u2, u3, ……….. un , ( un = suku ke n )
Barisan dikatakan konvergen, bila suku-sukunya mempunyai limit, kebalikannya dikatakan divergen.

Definisi:
Jika suku-suku suatu barisan mempunyai limit L, maka
lim un = L berarti bahwa untuk setiap ε > 0 terdapat indeks ni
n  ∞ ( ε & δ bilangan kecil )
sedemikian sehingga | un – L | < ε untuk n ≥ ni

Contoh:
Barisan (un), un = , L = 2, ε = , benarkah akan dapat ditemukan ni sedemikian sehingga n ≥ ni ?

Jawab: { Un } = 0, 1, , , , , ,………… ,…….., , ……≈ 2
u0 = 0, u1 = 1, u2 = , u3 = , …… u100 = , …..u1000 = , … u∞ ≈ 2.

Gambar

2.2. Limit Fungsi

Definisi:
Jika f(x) kontinu di x = c, dan f(c) = L, maka
= L berarti bahwa untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0
( ε & δ bilangan kecil )
sedemikian sehingga | f(x) – L | < ε untuk | x – c | < δ

Gambar

Sifat-sifat Limit:

Jika f(x) = A dan g(x) = B, maka
1). k f(x) = k A, k = konstanta
2). [ f(x) g(x) ] = f(x) g(x) = A B ,
3). [ f(x).g(x) ] = f(x) . g(x) = A . B ,
4). = = A / B
5). [ f(x) ]k = [ f(x) ] k = A k, k = konstanta

6). kf(x) = [ k ] = kA, k = konstanta
7). = = , n > 0
8). ln f(x) = ln f(x) = ln A , A > 0

Limit Fungsi Khusus:

1). Bila f(x) = 0 dan g(x) = ∞, maka
[ 1 + f(x) ]g(x) = e
2). = = 1
3). = = 1
4). ( 1 + 1/x )x = e, ( e = 2,71828 )
5). ( 1 – 1/x )-x = e,
6). ( 1 + x )1/x = e,
7). ( 1 – x )-1/x = e,
8). = 1

Contoh-Contoh Penyelesaian Soal-Soal Limit
A. Metode Biasa ( Dengan Menggunakan Rumus-Rumus Di atas )

1. = = a / p

2. = = ∞

3. = = 0

4. ( ) = ( ) x

5. = ?
= x
=
=
= = 1/2

6. = ?
Jawab:
1 + 2 + 3 + 4 + …….+ n merupakan Deret Aritmatika
Dengan a = 1, b = 1, un = n, jadi Sn = ½ n ( a + un )

=
=
=
= dibagi n2
= = =

7. = ?
= ( . ) =
= . = ( ) . 1. 6 = – 6/5 //

8. = ?
=
= .
= . . . . . 4
= 2. . . .
= 2 . 1 . 1 . 1 = 2 //

9. = ?
=
= .
= .
= 1 . 1 = 1 //

10. ( sec2x – sec x tan x ) = ?
=
=
=
=
= = = //

B. PENYELESAIAN SOAL-SOAL LIMIT METODE L’HOSPITAL

Penyelesaian soal-soal limit dengan menggunakan turunan atau derivatif yang ditemukan oleh L’Hospital ini sangat menguntungkan kita, karena lebih mudah dalam mengerjakannya apabila dibandingkan dengan cara biasa (tanpa turunan). Limit yang dapat diselesaikan dengan L’Hospital ini hanya yang berbentuk dan , sedangkan bentuk yang lain seperti bentuk : – , 00, 0, , 1 harus diubah dulu formasi fungsinya ke bentuk atau .

Oleh Hopital ditemukan dalil :

Gambar

Dari dalil tersebut berarti yang dapat menggunakan l’Hopital hanya bentuk dan , untuk bentuk-bentuk yang lain harus diubah menjadi atau kalau akan menggunakan l’Hopital, harus dijadikan bentuk atau .

Contoh :

1. = ?

Jawab:
bentuk , maka =
=
= =
Jadi = //

2. = ?

Jawab:
bentuk ,
maka = = //

3. = ?

Jawab:
bentuk ,
maka = = = 0 //

4. = ?

Jawab:
bentuk =
maka = = 1 //

5. = ?
Jawab:
=
=  l’Hopital 
= = -1 //

6. = ?
Jawab:
bentuk , harus diubah menjadi atau
= , ini sudah ,
barulah dengan l’Hopital, seperti berikut:
= = 0 //

7. (sin x . cot 2x) = ?

Jawab:
bentuk 0.∞
maka = bentuk = =
( ½ cos x cos2 2x ) = ½ .1.1 = 1/2 //

8. x.e-x = ? (∞.0)

Jawab:
= bentuk = = = 0 //

9. ( sin x )x = ? ( 00 )

Jawab: Dengan bantuan ln : Rumus : ln ap = p ln a
ln lim f(x) = lim ln f(x)

y = ( sin x )x  ln y = ln ( sin x )x = x . ln ( sin x )
= 0 . ln 0 = 0 . – ∞ = – 0 . ∞
= = bentuk = =
= . x cos x =
= x cos x = -1. 0. 1 = 0
ln y = 0  y = e0 = 1
Jadi: ( sin x )x = 1 //

10. ( tan x )cos x = ? ( ∞0 )

Jawab:
misal y = ( tan x )cos x
ln y = ln ( tan x )cos x = ln ( tan x )cos x =
= cos x . ln tan x = 
= = = = 0
ln y = 0  y = e0 = 1
Jadi ( tan x )cos x = 1 //

11. ( tan x )sec 2x = ? ( 1∞ )
Jawab: Misal y = ( tan x )sec 2x
ln y = ln ( tan x )sec 2x = sec 2x ln tan x =
=   l’Hopital 
= = = = – 1
ln y = – 1  y = ( tan x )sec 2x = e—1 = 1/e //
12. = ? ( 1- ∞ )

Jawab:
ln y = -> ( )
= 2 = 2. = 2 . 0 = 0
Jadi ln y = 0  y = e0 = 1 //

13. ( cos √x )1/x = ? ( 1∞ )

Jawab:
ln y = -> ( ) .
= – ½ = – ½ . 1.1 = – ½
 ln y = – ½  y = e-1/2 = //

 

MATEMATIKA DASAR : BAB 8

FUNGSI EKSPONENSIAL DAN LOGARITMA

Definisi Penggunaan fungsi eksponen diterapkan pada bidang
ekonomi, fisika, pertanian dan sebagainya.

Fungsi eksponen f dengan bilangan pokok a (a konstanta)
adalah fungsi yang didefinsikan dengan rumus :

F(x) = ax, a > 0, dan a ≠ 1

GRAFIK FUNGSI EKSPONEN

Gambar

Fungsi f(x) = ax, untuk 0 < a < 1

Lukislah grafik fungsi f(x) = (½)x
Jawab :
Dengan menggunakan nilai-nilai dalam tabel berikut ini, kita dapat melukiskan kurva mulus untuk fungsi g(x) = (½)x = 2-x

Gambar

Berdasarkan kedua grafik pada Gambar 7.1 dan 7.2 dapat kita simpulkan bahwa :
F(x) = g(-x)
g(x) = (½)x adalah pencerminan terhadap sumbu Y dari grafik f(x)= 22 atau kedua grafik tersebut simetris terhadap sumbu Y.

Gambar

PERSAMAAN FUNGSI EKSPONENSIAL
A. Persamaan Eksponen Berbentuk af(x) = ap
Untuk menyelesaikan persamaan yang berbentuk af(x) = ap, a>0 dan a ≠ 1 kita gunakan sifat berikut :
af(x) = ap <==>f(x) = p

B. Persamaan Eksponen Berbentuk af(x) = ag(x)
Persamaan berbentuk af(x) = ag(x) dan a ≠ 1 dapat diselesaikan dengan menggunakan sifat :
af(x) = ag(x) <==>f(x) = g(x)

C. Persamaan Eksponen berbentuk a . p2f(x) + b . pf(x) + c = 0
Terdapat suatu bentuk persamaan eksponen yang dapat dinyatakan dengan persamaan kuadarat.

D. Persamaan Eksponen Berbentuk ( h(x ) )f(x) = ( h(x) )g(x)
Pada persamaan eksponen yang berbentuk h(x)f(x) = h(x)g(x), f(x), g(x) dan h(x) masing-masing adalah suatu fungsi. Persamaan eksponen h(x)f(x) = h(x)g(x) mempunyai arti (terdefinsi) jika dan hanya jika memenuhi empat syarat berikut :

1. f(x) = g(x)
2. h(x) = 1
3. h(x) = 0 <==> f(x) > 0 dan g(x) > 0
4. h(x) = -1 <==> (-1)f(x) = (-1)g(x)

E. Persamaan Eksponen Berbentuk ( f(x) ) h(x) =( g (x) ) h(x)
Persamaan eksponen f(x) h(x) = g(x)h(x) teridefinisi jika dan hanya jika memenuhi dua kondisi berikut :
1. f(x) = g(x)
2. h(x) = 0 <==> f(x) ≠ 0 dan g(x) ≠ 0

PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN

Grafik fungsi eksponen dapat digunakan untuk menyelesaikan pertidaksamaan eksponen. Perhatikan grafik fungsi f(x) = ax dan g(x) = a-x, a > 1 berikut :
> Untuk gambar 7.4 (a), grafik fungsi f(x) = ax, a > 1: jika x2 > x1, maka f(x2) > f(x1).
> Untuk gambar 7.4 (b) grafik fungsi g(x) = a-x, a > 1: atau g(x) = ax, 0 < a < 1.
Jika x1 > x2, maka g(x1) < g(x2).

Sejarah Fungsi Logaritma
Alasan utama ditemukannya logaritma oleh John Napier (1550 – 1617) adalah efisiensi dalam operasi hitung perkalian, pembagian, pemangkatan, dan penarikan akar. Mengingat belum ada alat bantu hitung seperti kalkulator dan komputer, maka untuk mengalikan dua bilangan 7 angka memerlukan waktu yang cukup lama. Dengan menggunakan logaritma, kita cukup melakukan operasi penjumlahan, yang dapat dikerjkan dengan mudah dan cepat.

Napier memerlukan waktu kerja selama 20 tahun sebelum mempublikasikan metode logaritma hasil penemuannya. Logaritma Napier menggunakan basis 0,9999999. Hasil kerja napier ini dipublikaskan oleh Henry Brigss, seorang profesor geometri di Universitas Oxford, Inggris. Napier dan Briggs kemudian mendiskusikan pengembangan dan perbaikan metode tersebut. Henry Briggslah yang mengusulkan logaritma dengan basis 10 dan memberi istilah karakteristik dan mantisa untuk bagian bulat dan bagian desimal logaritma suatu bilangan.

Grafik Fungsi Logaritma
Di awal Bab sebelumnya telah dibahas bahwa fungsi eksponen ax naik untuk a > 1 dan turun untuk 0 < a < 1. Pada kedua kasus tersebutt, az adalah fungsi eksponen adalah fungsi logaritma. Seperti berikut ini:

Gambar

Fungsi logaritma dengan bilangan pokok a dinyatakan sebagai f(x) = alog x
Dengan definisi tersebut memudahkan kita untuk melukiskan grafik fungsi logaritma.

Persamaan Logaritma
Berikut ini adalah beberapa contoh soal persamaan logaritma, hitung x dari :
a. 3log x + 3log (x + 1) = 3log 2
b. 2log (2x – 3) + 4 = 2log (2x – 8)
c. xlog (5×3 – 4) = xlog x5
d. 5log2 x – 5log x3 + 2 = 0
Untuk menyelesaikan persamaan logaritma digunakan beberapa sifat logaritma.

A. Persamaan Logaritma Berbentuk alog f(x) = alog p
Untuk menyelesaikan persamaan alog f(x) = alog p, dimana a>0, a ≠ 1, dan f(x)>0, p > 0 dapat kita gunakan sifat :
alog f(x) = alog p <==> f(x) = p

B. Persamaan Logaritma Berbentuk alog f(x) = alog g(x)
Untuk menyelesaikan persamaan alog f(x) = alog g(x), dimana a>0, a≠1, dan f(x)>0, g(x) > 0 dapat kita gunakan sifat :
alog f(x) = alog g(x)<==> f(x) = g(x)

C. Persamaan Logaritma yang Dapat Dinyatakan dengan Persamaan Kuadrat
Persamaan logaritma dengan bentuk umum sebagai berikut,
A alog2 f(x) + B alog f(x) + C = 0, a > 0, a ≠ 1, dan f(x) > 0
serta A, B, C € R
Memiliki penyelesaian persamaan yang hampir sama dengan penyelesaian eksponen yang dapat dinyatakan menjadi persamaan kuadrat, dengan memisalkan alog f(x) = p.

D. Persamaan Logartima Berbentuk h(x)log f(x) = h(x)log g(x)
Untuk menyelesaikan persamaan h(x)log f(x) = h(x)log g(x), dimana h(x) > 0, h(x) ≠ 1, dan f(x), g(x) > 0 dapat kita gunakan sifat :
h(x)log f(x) = h(x)log g(x)<==> f(x) = g(x)

Pertidaksamaan Logartima
Perhatikan Gambar 7.11 berikut ini :

Gambar

Untuk gambar 7.11 (a)
½log ¼ = 2, sedangkan ½ log ½ = 1
Ternyata :
½log ¼ > ½log ½ tetapi ¼ < ½
Analog :
Jika ½log 2 > ½ log 8 maka 2 < 8
Secara umum, diambil kesimpulan sebagai berikut.
Untuk 0 < a < 1,
Jika alog x1 > alog x2, maka x1 < x2

Untuk gambar 7.11 (b)
2log 4 = 2, sedangkan 2 log 16 = 4
Ternyata :
2log 4 < 2log 16 dan 4 < 16
Analog :
Jika 2log 2 < 2 log 32 maka 2 < 32

Secara umum, diambil kesimpulan sebagai berikut:

Untuk a > 1,
Jika alog x1 < alog x2, maka x1 < x2 .

MATEMATIKA DASAR : BAB 7

FUNGSI  TRIGONOMETRI

Fungsi Trigonometri Sudut Lancip

Gambar

Definisi :

  1. Yang dimaksud Sinus (Sin) suatu sudut yaitu perbandingan antara garis yang memproyeksi terhadap garis yang diproyeksi.  ( Sin Tor Tum )
  2. Yang dimaksud Cosinus (Cos) suatu sudut yaitu perbandingan antara garis proyeksi terhadap garis yang diproyeksi. ( Cos Si Tum )
  3. Yang dimaksud Tangen (Tg) suatu sudut yaitu perbandingan antara garis yang memproyeksi terhadap garis proyeksi.  (Tang Tor Si )
  4. Yang dimaksud Cotangen (Ctg) adalah kebalikan dari Tangen sudut itu.
  5. Yang dimaksud Secan (Sec) adalah kebalikan dari Cosinus sudut itu.
  6. Yang dimaksud Cosecan (Cosec) adalah kebalikan dari Sinus sudut itu.

Definisi-definisi tersebut di atas dapat diperjelas sebagai berikut :

Sin a        = Sisi siku-siku yang dimuka dibagi sisi miring = AA1/OA

Cos a       = Sisi siku-siku yang disamping dibagi sisi miring = 0A1/OA

Tg a         = Sisi siku-siku yang dimuka dibagi sisi siku-siku yang disamping = AA1/OA1

Cotg a     = 1/tg a = OA1/AA1
Sec a       = 1/cos a = OA/OA1
Cosec a  = 1/sin a = OA/AA1

Grafiks Fungsi Trigonometri

Gambar

 

Gambar

Gambar

Gambar

Sin  a   = y/r  ;  Cos a   = x/r  ;  Tg a  = y/x   ;   Cotg α  = x/y

 

Dari segitiga di atas b = 90 – a ….?

Dengan menggunakan sudut b seperti di atas akan diperoleh :

Dari   Sin b = Sin (90 – a) = x/r     maka       Sin (90 – a) = Cos a

Dari   Cos b = Cos (90 – a) = y/r   maka       Cos (90 – a) = Sin a

 

Dengan cara seperti di atas :

Cotg (90 – a) = y/x   maka  Cotg (90 – a) = tg a

Tg (90 – a) = x/y      maka    tg (90 – a) = cotg a

 

Jadi Rumus Perbandingan Goniometri sudut penyiku ialah :

 

Sin       (90 – a) = Cos a

                     Cos      (90 – a) = Sin a

Tg       (90 – a) = Cotg a

Cotg    (90 – a) = tg a

Gambar

Gambar

Gambar

Contoh :

  1. Ubah kekoordinat polar, jika diketahui letak titik A dalam koordinat kartesian A (3,4)

Jawab:

Gambar

Gambar

Bidang datar XOY dibagi oleh sumbu x dan sumbu y menjadi empat bagian, yang masing-masing bagian disebut kuadran I, kuadran II, kuadran III dan kuadran IV.

Letak sudut dalam kuadran:

0 < α < 900 maka α di kuadran I

900 < α < 1800 maka α di kuadran II

1800 < α < 2700 maka α di kuadran III

2700 < α < 3600 maka α di kuadran IV

Α > 3600 ditentukan dengan mengurangi dengan kelipatan 3600 dan letak α disesuaikan dengan aturan α < 3600.

Untuk mencari nilai perbandingan goniometri suatu sudut, baik sudut dikuadran I, II, III IV dan sudut > 3600, harus dijadikan dulu perbandingan goniometri sudut lancip, maka diperlukan rumus-rumus sebagai berikut:

1. Kuadran  I:

Sin       (90 – a) = Cos a

                     Cos      (90 – a) = Sin a

Tg       (90 – a) = Cotg a

Cotg    (90 – a) = tg a

 

2. Kuadran ke II ke Kuadran I : 180 – α    atau   90 + β

Gambar

3. Kuadran ke III ke Kuadran I : 180 + α   atau  270 – β

Gambar

4. Kuadran ke IV ke Kuadran I : 360 – α    atau   270 + β

Gambar

Adapun tanda dari masing-masing kuadran adalah:

Gambar

 

Secara lengkap dapat dirumuskan sebagai berikut:
1. Perubahan di Kuadran I:
Sin (90 – ) = Cos 
Cos (90 – ) = Sin 
Tg (90 – ) = Cotg 
Cotg (90 – ) = tg 

2. Mengubah perbandingan Goniometri sudut di KW II ke KW I
Sin ( 180 – α ) = sin α
Cos ( 180 – α ) = – Cos α
Tan ( 180 – α ) = – Tan α
Ctg ( 180 – α ) = – Ctg α Sin ( 90 + β ) = Cos β
Cos (90 + β) = – Sin β
Tan (90 + β) = – Ctg β
Ctg (90 + β) = – Tan β

3. Untuk mengubah kuadran KW III ke I lihat tabel tanda kuadran, diperoleh:
Sin ( 180 + α ) = – Sin α
Cos ( 180 + α ) = – Cos α
Tan ( 180 + α ) = Tan α
Ctg ( 180 + α ) = – Cotg α Sin ( 270 – β ) = – Cos β
Cos (270 – β) = – Sin β
Tan (270 – β) = Ctg β
Ctg (270 – β) = – Tan β

4. Kuadaran IV ke I lihat tabel tanda kuadran, diperoleh:
Sin ( 360 – α ) = – Sin α
Cos ( 360 – α ) = Cos α
Tan (360 – α ) = – Tan α
Ctg (360 – α ) = – Cotg α Sin ( 270 + β ) = – Cos β
Cos (270 + β) = Sin β
Tan (270 + β) = – Ctg β
Ctg (270 + β) = – Tan β

Rumus–Rumus Luas ∆ dengan Trigonometri

Menghitung luas segitiga dinyatakan dua sudut dan satu sisi diapit sudut

GambarGambar

Gambar

 

Rumus –Rumus Utama Trigonometri

 

1). Sin2x + cos2x = 1                à              1 + cot2x = csc2x  à  csc2x – cot2x =  1

à       tan2x + 1 = sec2x  à  sec2x – tan2x =  1  

2). Sin x cos y = ½ [ sin (x-y) + sin (x+y) ]

                              y = x             à              sinx cos x = ½ [ sin 2x ]

3). Sin x sin y = ½ [ cos (x-y) – cos (x+y) ]

                              y = x             à              sin2x  = ½ [ 1 – cos 2x ]  …… ( i )

4).  Cos x cos y = ½ [ cos (x-y) + cos (x+y) ]

                              y = x             à              cos2x  = ½ [ 1 + cos 2x ] ……( ii )

      ( ii )  –  ( i )  diperoleh:                          cos2x – sin2x = cos 2x

5).  Sin(x+y) = sinx cosy + cosx siny

6).  Cos(x+y) = cosx cosy – sinx siny

7).  Sinx + siny    = 2 sin ½ (x+y) cos ½ (x-y)

8).  Sinx – siny    = -2 cos ½ (x+y) sin ½ (x-y)

9).  Cosx + cosy  = 2 cos ½ (x+y) cos ½ (x-y)

10).Cosx – cosy   = -2 sin ½ (x+y) sin ½ (x-y)

 

Turunan dan Integral  Dasar  Fungsi Trigonometri

1. Cos x   = -Sin x                  à     ò Sin x dx              = – Cos x + C

2. Sin x    = Cos x                  à     ò Cos x  dx            =  Sin x + C

3. ln |Cos x| = -tan x              à     ò tan x dx              = – ln|Cos x| + C

4. tan x    = sec2 x                  à     ò sec2 x  dx            =   tan x + C

5. cot x   = -csc2 x                  à     ò csc2 x  dx            = – cot x + C

6. sec x  = sec x tan x            à     ò sec x tan x  dx    =   sec x + C

7. csc x  = – csc x cot x         à     ò csc x cot x  dx    = – csc x + C

MATEMATIKA DASAR : BAB 6

HIPERBOLA

Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu adalah tetap. Kedua titik tertentu itu disebut titik fokus. ( TF2 –TF1 = k )

Hiperbola yang mempunyai persamaan paling sederhana :

Gambar

Persamaan Hiperbola

A. Persamaan Hiperbola yang berpusat di ( 0,0 )

1.Untuk hiperbola yang berfokus pada sumbu x, persamaan hiperbolanya adalahGambar

Dengan : – a2 + b2 = c2
– Pusat ( 0,0 )
– Titik fokus F1( -c,0 ) & F2 ( c,0 )
– Titik puncak ( -a,0 ) & ( a,0 )
– Panjang sumbu mayor = 2a
– Panjang sumbu minor = 2b
– Persamaan asimptot :
– Persamaan direktriks :
– Eksentrisitas:
– Panjang lactus rectum

2. Untuk hiperbola yang berfokus pada sumbu y, persamaan hiperbolanya adalah :

Gambar

Gambar

Dengan :
– Pusat O( 0,0 )
– Titik fokus F1( 0,-c ) & F2 ( 0,c )
– Titik puncak ( 0,-a ) & ( 0,a )
– Panjang sumbu mayor = 2a
– Panjang sumbu minor = 2b
– Persamaan asimptot :
– Persamaan direktriks :
– panjang lactus rectum : = 2 b2/a
Contoh 1 :
Diketahui persamaan hiperbola , tentukan :
a. Koordinat titik puncak
b. Koordinat titik fokus
c. Persamaan asimptot
d. Persamaan direktriks
e. Eksentrisitas
f. Panjang lactus rectum

Jawab :
Dari persamaan hiperbola , diperoleh a2=16 a=4 dan b2=9  b=3

a. koordinat titik puncak : ( – a, 0 ) = ( – 4,0) & ( a,0 ) = (4,0)
b. koordinat titik fokus : ( – c, 0 ) = ( -5,0 ) & ( c,0 ) = ( 5,0 )
c. persamaan asimptot :
d. persamaan direktriks :
e. eksentrisitas :
f. panjang lactus rectum

Gambar

Contoh 2 :

Tentukan persamaan hiperbola yang puncaknya (0,3) & (0,-3) serta fokusnya (0,5) & (0,-5).
Jawab :
Dari puncak (0,3) & (0,-3) diperoleh a=3, dari fokus (0,5) & (0,-5)
diperoleh c = 5.

Jadi persamaan hiperbolanya adalah :Gambar

Dengan :
– Titik Pusat ( α, β )
– Titik fokus F1( α , β – c ) & F2 ( α, β + c )
– Titik puncak ( α , β – a ) & ( α, β + a )
– Panjang sumbu mayor = 2a
– Panjang sumbu minor = 2b
– Persamaan asimptot :
– Persamaan direktriks :

Contoh 3 :
Diketahui persamaan hiperbola . Tentukan:
a. koordinat titik pusat
b. koordinat titik puncak
c. koordinat titik fokus
d. persamaan asimptot
e. persamaan direktriks

Jawab :

Nyatakan terlebih dahulu persamaannya ke dalam bentuk baku
Dari persamaan diatas, diperoleh , a2=9, maka a=3 dan b2=12, maka b= , 
c. Koordinat titik pusat ( α, β )=(-3,3)
d. Koordinat titik puncak ( α – a, β )=( -3-3, -3 )=( -6,-3 ) & ( α + a, β )=( -3+3,-3 )=(0,-3)
e. Koordinat titik fokus : F1( α – c, β )=( -3- ,3 ) & F2 ( α + c, β )=( -3+ , 3 )

MATEMATIKA DASAR : BAB 5

LINGKARAN DAN ELIPS

LINGKARAN

Definisi lingkaran adalah : tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik tertentu. Jarak yang sama itu disebut jari-jari lingkaran dan titik tertentu itu disebut pusat lingkaran.
P
Luas lingkaran : L = π r2
P
Keliling lingkaran : K = 2 π r

P ( π = 22/7 )

PERSAMAAN LINGKARAN PUSAT

PERSAMAAN LINGKARAN PUSAT O( 0, 0 )
Persamaan lingkaran dengan pusat O(0,0) dan berjari-jari r.
Persamaan lingkaran dengan pusat O dan jari-jari r adalah: x2 + y2 = r2 ……. ( 1 )

Misalkan, Persamaan lingkaran dengan pusat O dan jari-jari r dapat dinyatakan dengan notasi pembentuk himpunan sebagai berikut : L = { ( x, y ) | x2 + y2 = r2 }

Contoh soal :
Diketahui titik A(2,-1) dan titik B(-2,1). Tentukan persamaan lingkaran, jika AB merupakan garis tengah (diameter) lingkaran itu. Gambarkan grafiksnya !

Jawab:
Karena AB adalah diameter lingkaran, maka koordinat pusat lingkaran itu merupakan titik tengah dari titik A dan titik B.
Koordinat titik tengah dari titik A(xA, yA) dan titik B (xB, YB) adalah
( xT,yT) = ( (xA + xB ), (yA + YB)).
Untuk titik A(2,-1) dan titik B(-2,1), maka koordinat titik tengahnya adalah
( xT,yT) = ( (2-2), (-1+ 1)) = (0,0)
Jadi, pusat lingkaran di O(0,0).
Jari-jari lingkaran adalah OA = = . atau OB = …….. = .

Dengan demikian,persamaan lingkaran itu dapat dinyatakan sebagai
x2 + y2 = atau x2 + y2 = 5

Gambar

PERSAMAAN LINGKARAN PUSAT  P( a, b ) ,    a ≠ 0, b ≠ 0

Pengertian persamaan Lingkaran yang berpusat di A(2, 1) dan berjari-jari 3 dengan cara

himpunan M dan N:

Gambar

Daerah M yang diraster diatas menunjukan himpunan titik-titik yang berjarak 3 satuan atau kurang dari titik A(1, 2). Daerah M dapat dinyatakan dengan notasi pembentuk himpunan sebagai berikut:

M = { P(x, y) | AP ≤ 3}

Dibaca : M adalah himpunan semua titik P(x,y) yang berjarak 3 satuan atau kurang dari titik A.

Jika p (x, y) , maka AP dapat ditentukan dengan menggunakan rumus jarak dua titik yaitu :

Gambar

Daerah N yang diarsir diatas menunjukan titik-titik yang berjarak 3 satuan atau lebih dari titik A(1, 2). Daerah N dapat dinyatakan dengan notasi pembentuk himpunan sebagai berikut :

 N = { P(x, y) | AP ≥ 3}

Dengan menggunakan perhitungan yang sama seperti pada himpunan M, maka himpunan N dapat dinyatakan pula sebagai berikut :

Gambar

Gambar

Misalkan P(x, y) adalah sembarang titik yang terletak pada keliling lingkaran . buatlah garis g yang melalui titik pusat A (a, b) dan sejajar dengan sumbu X,  serta P’ adalah proyeksi P pada garis g,  sehingga segitiga AP’P merupakan segitiga siku-siku di P’ dengan sisi-sisi

AP’ =  (x – a),   PP’= (y – b),   dan AP = r (jari-jari lingkaran).

Karena titik P(x, y) kita ambil sembarang, maka persamaan    +   = r2  berlaku untuk semua titik P(x, y) yang terletak pada keliling lingkaran itu. Dengan demikian kita dapar menyatakan hal sebagai berikut.

Persamaan lingkaran denga pusat A(a, b) dan jari-jari r adalah

  +   = r2                                     ……( 2 )

Apabila dinyatakan dengan notasi pembentuk himpunan dapat dituliskan sebagai berikut:

L ≡ { (x, y) |   ( x – a )2 + ( y – b )2  = r2}                

Persamaan ini disebut persamaan lingkaran baku.

Dalam arti jika persamaan lingkaran baku itu diketahui, maka kita dengan segera dapat menentukan pusat sekaligus jari-jarinya . misalkan,

a)    Jika  L ≡   +   = 25   , maka pusat (3, 4), dan jari-jari r =  = 5

b)    Jika  L ≡   +   = 16  , maka pusat (-1, 5), dan jari-jari r =  = 4

c)    Jika  L ≡   +   = 12  , maka pusat (2, -3), dan jari-jari r =  = 2

d)    Jika  L ≡ (x + 1)2  + ( y + 2 )2  = 9  , maka pusat (-1, -2), dan jari-jari r =  = 3

Contoh Soal-Jawab:

a)    Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat (-2, 2) dan jari-jari 3.

b)    Gambarkan lingkaran pada soal a).

c)    Pada gambar yang anda peroleh pada soal b) , lukiskan titik-titik P(1, 3), Q(-4, 2), dan R(2, 4).

d)    Dapatkah anda menyebutkan di mana kedudukan titik-titik  P, Q, dan R terhadap lingkaran? Di dalam, pada, ataukah di luar lingkaran?

Jawab :

a)    Persamaan lingkaran dengan pusat A(-1, 2) dan jari-jari r = 3 dapat dinyatakan sebagai  (x – (-1))2  + ( y – 2 )2   = (3)2

  • (x + 1)2  + ( y – 2 )2   = 9

Dalam notasi pembentukan himpunan dituliskan sebagai:

L ≡ { (x, y) | (x + 1)2  + ( y – 2 )2    = 9}

PERSAMAAN UMUM LINGKARAN

x2 + y2 ± 2Ax ± 2By ± C = 0 …………………………….( 3 )

Untuk memudahkan membuat grafiksnya, harus dirubah dulu menjadi persamaan pusat,
Seperti pada persamaan ( 2 ), yaitu : + = r2
Dari ( 3 ) : x2 + y2 – 2Ax – 2By + C = 0 dapat dirubah menjadi :
( x – A )2 + ( y – B )2 – A2 – B2 + C = 0
( x – A )2 + ( y – B )2 = A2 + B2 – C
Ini adalah persamaan lingkaran dengan pusat (A,B) dan jari-jari r =

Ciri-ciri persamaan ( 3 ) yang merupakan persamaan lingkaran adalah : koefisien x2 dan y2
harus = 1 atau sama besar yang tidak sama dengan nol, tapi harus bertanda sama ( sama-sama positif atau sama-sama negatif.

PERSAMAAN LINGKARAN DALAM KOORDINAT POLAR
x = r cos Ө ; y = r sin Ө; x2 + y2 = r2

1. r = 2 (lingkaran) y

atau . r2 = 22 
x2 + y2 = 4  P(0,0)
(lingkaran pusat P(0,0) jari-jari r = 2) x

2. r = 2 cos Ө (lingkaran)
atau r = 2 x/r  y
x2 – 2x + y2 = 0  P(1,0)
(x-1)2 + y2 = 1 x
(lingkaran pusat P(1,0) jari-jari r = 1)

3. r = 2 sin Ө (lingkaran)
atau r = 2 y/r 
x2 – 2y + y2 = 0  P(0,1)
x2 + (y-1)2 = 1
(lingkaran pusat P(0,1) jari-jari r = 1)

ELIPS

Definisi ELIPS adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua buah titik tertentu

Kedua titik tertentu itu disebut titik fokus. ( TF2 +TF1 = 2a ). T adalah suatu titik yang terletak pada Elips. Sedang F1 dan F1 adalah titik-titk Fokus Elips.

Gambar

Catatan:

 Luas elips   LE  =  π  a b;     Keliling elips    KE =  2  π

Sumbu simetris yang melalui titik-titik focus F1 dan

F2 disebut sumbu utama atau sumbu Transversal. Panjang F1 F2 = 2 c

–          Sumbu utama ini berpotongan dengan Elips di titik-titik A1 dan A2, masing-masing disebut puncak elips.

–          Ruas  garis A1 A2 disebut sumbu panjang atau sumbu mayor, yg panjangnya = 2a

–          Sumbu-sumbu yang melalui titik tengah F1 dan F2 yang tegak lurus F1 F2 disebut sumbu sekawan atau sumbu konjugasi. Sumbu sekawan ini  berpotongan dengan  elips di titik-titik B1 dan B2.

–          Ruas garis B1 B2 disebut sumbu  pendek atau sumbu minor, yg panjangnya = 2b

PERSAMAAN   ELIPS  DALAM KOORDINAT POLAR

1. Dalam Koordinat Polar, secara umum  r =   ,  a = konstanta

(i).    є  < 1    à  ellips

(ii).   є  = 1    à  parabola

(iii).  є  > 1    à  hiperbola

(i).   є  = ½ < 1    à  ellips  à r =  à

r – r cos Ө = 2 a à r  =  r cos Ө  +  2 a

√(x2 + y2) =  x + 2 a à                                       P

x2 + y2 = (x + 2 a)2 à

= x2 + 2 ax + 4a2à

x2 – 2 a x + y2  =  4a2

(x2 –  a x )+ y2  =  4a2

+ y2  =  4a2 +  a2

+ y2 =  a2   à ellips denngan pusat (a, 0)

MATEMATIKA DASAR : BAB 4

ALJABAR  FUNGSI

Misalkan  f dan g  adalah fungsi yang bernilai riil  dari  R ke R.

( R = himpunan bilangan riil, misalnya sumbu x & sumbu y)

Domain  D  yang memenuhi Aljabar Fungsi berikut ini adalah:

a).  (f + g) (x)  = f(x) + g(x) ,  Df+g = Df ∩ Dg

b).  (f – g) (x)   = f(x) – g(x) ,  Df-g  = Df ∩ Dg

c).  (f . g) (x)   = f(x) . g(x) ,  Df.g   = Df ∩ Dg

d).  (f / g) (x)   = f(x) / g(x) ,  Df/g   = Df ∩ Dg ,  g(x) ≠ 0

Contoh:

Diketahui  f(x) = x2  dan  g(x) = √ (x + 2).

Tentukan :   a). Daerah asal (Domain)  dari : f + g, f – g, f.g, f/g

b). Rumus  f.g,  f +  g

Jawab:

a).  Df = R = himpunan bilangan riil.

Dg = { x |  -2 ≤ x < ∞ }

Df+g  = Df ∩ Dg = { x |  -2 ≤ x < ∞ }

Df-g  = Df ∩ Dg= { x |  -2 ≤ x < ∞ }

Df.g  = Df ∩ Dg= { x |  -2 ≤ x < ∞ }

Df/g  = Df ∩ Dg – {2} = {x| 2<x<∞}

b). Rumus  (f.g) (x) = f(x) . g(x) =  x2  √ (x + 2).

Rumus  (f + g) (x) = f(x) + g(x) = x2 + √ (x + 2).

Gambar

Gambar

Jawab:
(g o f) (x) = g( f(x) ) = g( 3x+4 ) = (3x+4)2 – 1= 9×2 + 24 x + 15
(f o g) (x) = f( g(x) ) = f(x2 – 1) = 3(x2 – 1)+4 = 3×2 + 1
Jadi g o f ≠ f o g

3. Diketahui fungsi f dan g: g(x) = 3x + 2, (gof)(x) = x2 + 3x + 4.
Tentukan rumus f(x) dan f(2x+1) !
Jawab: (g o f) (x) = g( f(x) ) = 3 f(x) + 2
3 f(x) + 2 = x2 + 3x + 4
 f(x) = ⅓ x2 + x + ⅔
f(2x+1) = ⅓ (2x+1)2 + (2x+1) + ⅔
= ⅓ (4×2+4x+1) + ⅓ (6x+3) + ⅔
= ⅔ (2×2 + 5x + 3)

4. Diketahui fungsi f dan g: f(x) = x – 6, (gof)(x) = x2 + 5x + 6
Tentukan rumus g(x) dan g(2x+1) !
Jawab:
(g o f) (x) = g( x – 6 ) = x2 + 5x + 6
misal: y = x – 6  x = y + 6
Jadi g( y ) = (y+6)2 + 5 (y+6) + 6
= y2 + 12 y + 36 + 5 y + 30 + 6
= y2 + 17 y + 72
Jadi g(x) = x2 + 17 x + 72
g(2x+1) = (2x+1)2 + 17 (2x+1) + 72
= 4 x2 + 38 x + 90

5. Diketahui fungsi f : f(x) = 2x + 4,
Dengan cara fungsi komposisi tentukan f-1 !
Jawab:
Cara 1: Rumus ( f o f-1 )(x) = x
Tapi ( f o f-1 )(x) = f ( f-1(x) ) = 2 f-1(x) + 4
Jadi x = 2 f-1(x) + 4 atau f-1(x) = ½ ( x – 4 )

Cara 2: Rumus (f-1 o f)(x) = x atau f-1( f(x) ) = x atau f-1(2x+4)) = x
Misal y = 2x + 4  x = ½ (y – 4)
Sehingga f-1(y) = ½ (y – 4) atau f-1(x) = ½ (x – 4)

6.3. JENIS-JENIS FUNGSI RIIL

Fungsi Riil adalah fungsi yang domain dam kodomainnya berupa bilangan riil, yaitu yang dapat digambarkan grafiksnya dalam sumbu XOY, atau koordinat Kartesian.
Beberapa Fungsi Riil yaitu:

6.3.1. FUNGSI POLINOM ( SUKU BANYAK ) P(x):
f(x) = Pn(x) = aoxn + a1xn-1 + a2xn-2 + …..+ aixn-i + ….+ an-1x + an
ai R, i= 0,1,2,….n
(i). Fungsi Linier: f(x) = ax + b, a ≠ 0 ( Garis Lurus )
(ii). Fungsi Kuadrat: f(x) = a x2 + bx + c, a ≠ 0 ( Parabola )
(iii). Fungsi Kubik (Pangkat Tiga) : f(x) = a x3 + b x2 + cx + d, a ≠ 0
a, b c , d = konstanta

6.3.2. FUNGSI ALJABAR
a). Fungsi Pecah: f(x) = P(x) / Q(x), Q(x) ≠ 0
Contoh f(x) = (x-4) / (x –7)
b). Fungsi Irasional:
Contoh: f(x) = x + √(x-x2)
Pada umumnya Fungsi Aljabar adalah Fungsi Implisit.
Untuk y = f(x) = x + √(x-x2), setelah dikuadratkan diperoleh:
y2 – 2 xy + ( 2×2-x) = 0 ini adalah fungsi implisit.

6.3.3. FUNGSI TRANSEDEN:
a). Fungsi Eksponensial: f(x) = ax, a ≠ 0, a ≠ 1, f(x) = ex, …
b). Fungsi Logaritma : f(x) = alogx, a ≠ 0, a ≠ 1, f(x) = ln x, …
c). Fungsi Trigonometri: f(x) = sin x, f(x) = cos x, f(x) = sin x tan x, …
d). Fungsi Siklometri: f(x) = arcsin x  x = sin y, f(x) = arctan x, ….
e). Fungsi Hiperbolik: f(x) = sinh x = ½ (ex – e-x), f(x) = cosh x, …

6.3.4. Selain Fungsi-Fungsi diatas:
a). Fungsi Genap: f(-x) = f(x), contoh: cos(-x) = cos x
b). Fungsi Ganjil: f(-x) = – f(x), contoh: sin(-x) = – sin x
c). Fungsi Periodik: f(x+T) = f(x), contoh: sin(x+2π)=sin x
d). Fungsi harga mutlak: f(x) = | x |, f(x) = | sin x |, ….
e). Fungsi Tangga: f(x) = [ x ] = bilangan bulat terbesar yang ≤ x
f). Fungsi monoton: M. Turun: f(x1) < f(x2); M. Naik: f(x1) > f(x2), (x1 < x2)
g). (Fungsi) Lingkaran: x2 + y2 = r2 ( Lingkaran pusat O(0,0) jari-jari r )
(x-a)2 + (y-b)2 = r2 ( Lingkaran pusat (a,b) jari-jari r )
h). (Fungsi) Elips : x2/a2+ y2/b2 = 1, a ≠ b ( Elips pusat O(0,0) )
(x-a)2/a2 + (y-b)2/b2= 1 ( Elips pusat (a,b) )
i). (Fungsi) hiperbola: x2/a2 – y2/b2 = 1 ( hiperbola pusat O(0,0) )
(x-a)2/a2 – (y-b)2/b2= 1 ( hiperbola pusat (a,b) )

6.4. FUNGSI LINIER ( PERSAMAAN GARIS LURUS )

Akan di bahas tentang :
1. Bentuk umum persamaan garis lurus.
2. Pembentukan persamaan garis lurus
3. Hubungan dua garis lurus.
4. Menentukan titik potong dua garis lurus.

6.4.1 Bentuk umum persamaan garis lurus.

Ada 2 macam : ( i ). y = a + b x , a dan b konstanta
Koefisien dari x yaitu b adalah koefisien arah garis
Persamaan garis ini dapat ditentukan apabila diketahui dua
titik yang melalui garis tersebut.
y=a+bx
a = penggal garis y untuk x = 0
α dy b = lereng (koefisien arah)
a dx = dy/dx = tan α
0 x

( ii ). y – y1 = b ( x – x1 ), b = koefisien arah garis, sedang
(x1, y1) adalah suatu titik yang dilalui garis tersebut.
Jadi persamaan garis ini dapat ditentukan apabila
diketahui b dan suatu titik yang dilaluinya.

6.4.2. Pembentukan persamaan garis lurus

Pada prinsipnya untuk membentuk suatu persamaan garis lurus,
diperlukan dua unsur. Persamaan garis lurus dapat dibentuk bila :
a. Diketahui dua koordinat titik atau
b. Diketahui satu koordinat titik dan satu lereng (koef.arah)
c. Diketahui satu penggal garis dan satu lereng
d. Diketahui dua penggal garis

a). Diketahui dua koordinat titik (x1, y1) dan (x2, y2),

Cara I:
Rumus persamaan garis lurus : y – y1 x – x1
y2 – y1 x2 – x1
Contoh persamaan garis melalui A(2,3) dan B(6,5) adalah
Rumus persamaan garis lurus : y – 3 x – 2
5 – 3 6 – 2
y – 3 x – 2  4y – 12 = 2x – 4
2 4 y = 2 + ½ x //
Cara II:
Rumus persamaan garis lurus : y = a + b x
Titik A(2,3) dan B(6,5) dimasukkan ke persamaan, diperoleh:
3 = a + 2 b (1) dan
5 = a + 6 b (2)
diperoleh -2 = – 4 b  b = ½ masuk (1)
diperoleh 3 = a + 1  a = 2
Jadi persamaan garis lurus yang dimaksud adalah y = 2 + ½ x //

y=2+½x B(6,5)

A(2,3)

0 2 6 x

b). Diketahui satu koordinat titik (x1, y1) dan satu lereng (koef.arah) m
Rumus persamaan garis lurus : y – y1 = m ( x – x1 )
Contoh persamaan garis melalui A(2,3) dengan lereng m = 2 adalah
y – 3 = 2 ( x – 2 )  y = 2x – 1

c). Diketahui satu penggal garis dan satu lereng
Bila diketahui penggal garis pada sumbu y: a = 5 dan lereng b = 3, maka
persamaan garis y = a + bx akan diperoleh persamaan garis yang
dimaksud adalah y = 5 + 3 x

d). Diketahui dua penggal garis
Cara I:
Bila diketahui 2 penggal garis, katakan x1 dan y1, maka akan diperoleh
dua titik A(x1, 0) dan B(0, y1), jadi penyelesaiannya sama dengan
apabila diketahui 2 koordinat titik yang dilalui garis yang dimaksud ( a) ).

Cara II:
Bila diketahui 2 penggal garis, katakan y= a dan x=-c, maka akan diperoleh
persamaan garis : + = 1 atau y = a + x

y=a+bx
a = penggal garis y untuk x = 0
c = penggal garis x untuk y = 0
a b = tan α = a/c
-c α 0 x

6.4.3. Hubungan dua garis lurus

Dua garis g dan h, dengan persamaan g: y = a + b x
h: y = c + d x
i). Berimpit, bila a = c dan b = d atau g = kelipatan dari h
ii). Sejajar, bila a ≠ c dan b = d
iii). Berpotongan, bila b ≠ d
iv). Berpotongan tegak lurus, bila bd = -1

1. Mencari titik potong dua garis lurus

Untuk mencari titik potong dua buah garis dapat dilakukan dengan 3 cara:
a). Cara substitusi
b). Cara eliminasi
c). Cara determinan

a). Cara substitusi
Contoh: Carilah titik potong dua buah garis 2x + 3y = 21 dan x + 4y = 23
Jawab: 2x + 3y = 21 ….. (i)
x + 4y = 23 …..(ii)
dari (ii) diperoleh x = 23 – 4 y …. (iii)
(iii) masuk (i) diperoleh 2 (23 – 4 y ) + 3y = 21  …..
46 – 5y = 21  25 = 5y  y = 5 ….(iv)
(iv) masuk (i) diperoleh 2x + 3 ( 5 ) = 21  2 x = 21 – 15
2x = 6  x = 3
Jadi titik potong kedua garis tersebut adalah ( 3, 5 ) //

b). Cara eliminasi
Contoh: Carilah titik potong dua buah garis 2x + 3y = 21 dan x + 4y = 23
Jawab: 2x + 3y = 21 ………. (i)
x + 4y = 23 (x 2)…..(ii)
0 – 5 y = – 26  y = 5 … (iii)

(iii) masuk (i) diperoleh 2x + 3 ( 5 ) = 21  2 x = 21 – 15
2x = 6  x = 3
Jadi titik potong kedua garis tersebut adalah ( 3, 5 ) //

c). Cara determinan
Dua garis g dan h, dengan persamaan g: a x + b y = c
h: d x + e y = f
Penyelesaian 2 persamaan garis di atas adalah ( x, y ) yang merupakan titik
potong kedua garis tersebut. Dengan cara determinan, maka:
x = dan y =

di mana D = determinan koefisien x dan y = a b = a e – b d
d e

Dy = determinan konstanta dan koefisien y = c b = c e – b f
f e
Dy = determinan koefisien x dan konstanta = a c = a f – c d
d f

Contoh: Carilah titik potong dua buah garis 2x + 3y = 21 dan x + 4y = 23
dengan cara determinan !
Jawab :
D = 2 3 = 2 . 4 – 3 . 1 = 8 – 3 = 5
1 4

Dx= 21 3 = 21 . 4 – 3 . 23 = 84 – 69 = 15
23 4

Dy= 2 21 = 2 . 23 – 21 . 1 = 46 – 21 = 25
1 23

x = Dx / D = 15 / 5 = 3 Titik potong ( 3 , 5 ) //
y = Dy / D = 25 / 5 = 5